В предьдущем разделе было показано, что многочастичные системы типа I-V являются вполне интегрируемыми. Однако теорема Лиувилля, из которой следует это утверждение, не дает конструктивного метода интегрирования уравнений движения.

Как уже отмечалось в гл. 1, в ряде случаев уравнения движения можно проинтегрировать явно с помощью нового метода, предложенного в работе [94], так называемого метода проектирования.

Идея метода заключается в рассмотрении системы с $n$ степенями свободы как проекции другой системы с большим числом степеней свободы, уравнения движения которой имеют более простой вид и легко интегрируются. После соответствующего проектирования на $n$-мерное подпространство мы приходим уже к движению в потенциальном поле
\[
U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=g^{2} \sum_{j<k} v\left(q_{j}-q_{k}\right),
\]

где $v(\xi)$ дается формулами (3.1.14) (I-III) .
Этот подход выявляет причину интегрируемости рассматриваемых систем. В частности, как было показано в работах $[94,95]$, системы I-III являются проекциями систем, описывающих свободное движение (геодезический поток) в некоторых симметрических пространствах нулевой, отрицательной и положительной кривизны соответственно, причем размерности этих пространств значительно больше числа степеней свободы исходной системы.

В настоящем разделе мы рассмотрим, следуя работе [94], системы I и V, т.е. системы с $v(\xi)=\xi^{-2}$ и $v(\xi)=\xi^{-2}+\omega^{2} \xi^{2}$ соответственно. Относительно простейшего случая одной степени свободы см. раздел 1.9.

Для того чтобы получить систему не с одной, а с многими степенями свободы, рассмотрим свободное движение в матричном пространстве $X_{n}^{0}=\{x\}$ – пространстве эрмитовых матриц порядка $n$ с нулевым следом. Уравнения движения здесь имеют вид
\[
\ddot{x}=0 \text {, }
\]

общее решение которых
\[
x=a t+b, \quad a, b \in X_{n}^{0} .
\]

Приведем теперь эрмитову матрицу $x$ с помощью унитарного преобразования $u$ к диагональному виду $Q$ :
\[
x(t)=u(t) Q(t) u^{-1}(t), \quad u^{+}=u^{-1} .
\]

Здесь
\[
Q(t)=\operatorname{diag}\left[q_{1}, \ldots, q_{n}\right],
\]

и без ограничения общности можно считать, что величниы $q_{j}$ упорядочены: $q_{1}<q_{2}<\ldots<q_{n}$. Отметим, что в простейшем случае $n=2, x=$ $=\sum x_{j} \sigma_{j}$ ( $\sigma_{j}-$ матрицы Паули), $Q=\operatorname{diag}(-q, q)$ и $q=|\mathbf{x}|$, т.е. переход $j$. от $x$ к $Q$ можно назвать сферической проекцией.

Попробуем теперь вывести уравнения для $q_{j}(t)$ и $p_{j}(t)=\dot{q}_{j}(t)$. Дифференцируя уравнение (3.3.3) по времени, получаем
\[
u(t) L(t) u^{-1}(t)=a,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=P+i[M, Q], \\
P=\dot{Q}, \quad M=-i u^{-1} \dot{u},
\end{array}
\]
$L$ и $M$ – эрмитовы $n \times n$ матрицы.
Дифференцируя по $t$ уравнение (3.3.5), получаем
\[
\dot{L}+i[M, L]=0,
\]
т.е. уравнение Лакса. Фактически уравнение (3.3.8) эквивалентно уравнению (3.3.1).

Напротив, предположим, что мы имеем пару матриц Лакса $L(t)$ и $M(t)$, связанных соотношением (3.3.6) и удовлетворяющих уравнению Лакса (3.3.8). Пусть $u(t)$ – это решение уравнения $u=-i M u, u(0)=I$, и пусть $x(t)$ определено формулой (3.3.3). Тогда кривая $x(t)$ является геодезической $\ddot{x}=0$.

Нетрудно доказать, что матрицы $L$ и $M$, определяемые формулами (3.1.6) и (3.1.7), для систем типа $I$ с $v(q)=q^{-2}$ удовлетворяют (3.3.6). Мы должны теперь охарактеризовать соответствующие геодезические. Предполагая без потери общности, что матрица $b$ диагональна и, следовательно, $u(0)=I$, получаем
\[
a=L(0), b=Q(0) .
\]

Заметим, что соответствующая матрица момента количества движения
\[
\mu=i[x, \dot{x}]=i[b, a]=e \otimes e-I, e=(1, \ldots, 1)
\]

имеет очень специальный вид; ( $n-1$ ) собственных значений этой матрицы совпадают друг с другом. Это является характеристическим свойством геодезических, которые проектируются в траектории системы типа I.

Итак, мы получили окончательный результат: координаты $q_{j}(t)$ решения уравнений движения для системы типа I – являются собственными значениями матрицы*)
\[
Q(0)+L(0) t .
\]

Обсудим теперь процесс рассеяния. Потенциал $U(q)=\sum_{j<k} v_{j k}$ в
исчезает при $\left(q_{j}-q_{k}\right) \rightarrow \infty$ и поэтому
\[
q_{j}(t) \sim p_{j}^{ \pm} t+q_{j}^{ \pm} \quad \text { при } t \rightarrow \pm \infty .
\]

Таким образом, процесс рассеяния определяется каноническим преобразованием от переменных ( $p_{j}^{-}, q_{k}^{-}$) к переменным $\left(p_{j}^{+}, q_{k}^{+}\right)$.
Далее, нетрудно видеть, что
\[
I_{k}=k^{-1} \operatorname{tr}\left(L^{k}\right)=k^{-1} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{-}\right)^{k}=k^{-1} \sum_{j=1}^{n}\left(p_{j}^{+}\right)^{k} .
\]

Отсюда следует, что величины $p_{j}^{+}$отличаются от $p_{j}^{-}$лишь перестановкой:
\[
p^{+}=s p^{-} .
\]

Учитывая условие $q_{1}<q_{2}<\ldots<q_{n}$, получим
\[
p_{1}^{+}<p_{2}^{+}<\ldots<p_{n}^{+} ; p_{1}^{-}>p_{2}^{-}>\ldots>p_{n}^{-}
\]

и, следовательно,
\[
p_{1}^{-}=p_{n}^{+}, \quad p_{2}^{-}=p_{n-1}^{+}, \ldots, p_{n}^{-}=p_{1}^{+} .
\]

Докажем, что величины $q_{j}^{+}$и $q_{k}^{-}$также удовлетворяют аналогичному условию
\[
q_{1}^{-}=q_{n}^{+}, q_{2}^{-}=q_{n-1}^{+}, \ldots, q_{n}^{-}=q_{1}^{+} .
\]

Действительно, из (3.3.5) следует, что
\[
a=u(\infty) L(\infty) u^{-1}(\infty)=u(-\infty) L(-\infty) u^{-1}(-\infty) .
\]

Кроме того,
\[
L(\infty)=P^{+}=\operatorname{diag}\left[p_{1}^{+}, \ldots, p_{n}^{+}\right], \quad L(-\infty)=P^{-}=\operatorname{diag}\left[p_{1}^{-}, \ldots, p_{n}^{-}\right] .
\]

Отсюда получаем
\[
P^{+}=S P^{-} S^{-1},
\]

где
\[
S=u^{-1}(\infty) u(-\infty)=u^{-1}(-\infty) u(\infty), \quad S_{i j}=\delta_{j, n+1-i} .
\]
*) Отметим, что для доказательства этого утверждения мы использовали явный вид матриц $L(t)$ и $M(t)$ ((3.1.6) и (3.1.7)). Доказательство, не использующее явного вида матриц $L$ и $M$ (но зато использующее соотношение $\mu=c$ ), в рамках схемы редукции гамильтоновых систем с симметрией приведено в разделе 3.7.

Теперь воспользуемся равенством
\[
Q(t)=u^{-1}(t) x(t) u(t)=P t+i[M, Q] t+u^{-1}(t) b u(t) .
\]

Отсюда следует, что
\[
Q^{+}=S Q^{-} S^{-1},
\]

таким образом, соотношение (3.3.16) доказано. Другое доказательство соотношения (3.3.16) дано в работе [251] .

Соотношение (3.3.15) было впервые обнаружено для $n=3$ в работе [242] и для произвольного $n$ в квантовом случае в работе [132]. Естественная гипотеза, что оно справедливо и в классическом случае, была доказана Мозером, который доказал также и соотношение (3.3.16) [251].

Соотношения (3.3.15) и (3.3.16) означают, что рассеяние в данной задаче сводится к следующим друг за другом рассеяниям отдельных пар частиц.
Перейдем теперь к системам типа $\mathrm{V}$, т.е. к системам с потенциалом
\[
v(q)=q^{-2}+\omega^{2} q^{2} \text {. }
\]

В этом случае вместо свободного рассмотрим гармоническое движение в пространстве $X^{0}$ :
\[
\ddot{x}+\omega^{2} x=0, \quad x \in X^{0} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
x(t)=\frac{a}{\omega} \sin \omega t+b \cos \omega t, \quad a, b \in X^{0} .
\]

Представляя это выражение в виде (3.3.3) и дифференцируя (3.3.3) дважды по времени, аналогично предыдущему приходим к утверждению: координаты $q_{j}(t)$ рассматриваемой системы являются собственными значениями матрицы
\[
Q(0) \cos \omega t+\omega^{-1} L(0) \sin \omega t .
\]

Далее, из (3.3.3) следует, что
\[
\operatorname{tr}[Q(t)]^{k}=\operatorname{tr}[x(t)]^{k} .
\]

Однако $\operatorname{tr}[Q(t)]^{k}$ – это полином по $q_{j}$ степени $k$, инвариантный относительно перестановок. Отсюда получаем

Следствие 1. Полином степени $k$ по $q_{j}$, инвариантный относительно перестановок, является полиномом степени $k$ по $t$ (при $\omega=0$ ) или по $\sin \omega t$ и $\cos \omega t$ (при $\omega
eq 0$ ).

Заметим, что явное решение уравнений движения для систем типа I и V (см. (3.3.11) и (3.3.25)) позволяет установить простое соотношение между этими решениями.

Пусть $q_{j}(t)$ – решение уравнений движения для системы типа I ( $\omega=$ $=0$ ). Тогда из формул (3.3.11) и (3.3.25) следует, что величины
\[
\tilde{q}_{j}(t)=q_{j}\left(\omega^{-1} \operatorname{tg} \omega t\right) \cos \omega t
\]

являются решениями соответствующей системы типа $V(\omega
eq 0)$. Справедливо, разумеется, и обратное утверждение *).

*) Аналогичная связь существует и для систем более общего вида [266], см. следующий раздел.

Отметим еще, что величины
\[
\operatorname{tr}\left(Q^{k_{1}} L^{l_{1}} Q^{k_{2}} L^{l_{2}} \ldots\right)
\]

весьма просто зависят от времени. Именно, такая величина является полиномом степени $k=\Sigma k_{j}$ по $t$ (при $\omega=0$ ) или по $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ (при $\omega
eq$ $
eq 0$ ). Алгебра скобок Пуассона для таких величин изучена в работе [121].