Метод разделения переменных является одним из основных методов интегрирования уравнений движения динамических систем. Он позволяет свести интегрирование для случая многих степеней свободы к интегрированию последовательности одномерных задач.

Проблема разделения переменных в уравнениях механики интенсивно исследовалась в прошлом веке и начале нашего века. Здесь мы ограничимся наиболее важными случаями.
A. Системы Лиувилля. Такие системы были впервые рассмотрены Лиувиллем в 1849 г. [240]. Это системы, для которых
\[
H=T+U,
\]

а кинетическая энергия $T$ и потенциальная энергия $U$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} C \sum_{j=1}^{n} \frac{\dot{q}_{j}^{2}}{a_{j}}=\frac{1}{2 C} \sum_{j=1}^{n} a_{j} p_{j}^{2}, \\
U=\frac{1}{C} \sum_{j=1}^{n} U_{j}, \quad C=\sum_{j=1}^{n} c_{j} .
\end{array}
\]

Здесь функции $a_{j}, c_{j}$ и $U_{j}$ зависят лишь от переменной $q_{j}$.
Для этих систем
\[
\dot{q}_{j}=\frac{a_{j}}{C} p_{j}
\]

и, как нетрудно проверить, величины
\[
I_{j}=\frac{1}{2} a_{j} p_{j}^{2}+U_{j}-H c_{j}, \quad j=1,2, \ldots, n,
\]

являются интегралами движения.
Отметим, что из них лишь ( $n-1$ ) величин являются независимыми, поскольку
\[
\sum_{j=1}^{n} I_{j}=0 .
\]

Таким образом, с учетом гамильтониана $H$ мы имеем $n$ квадратичных интегралов движения. Очевидно, что все эти величины находятся в инволюции,
\[
\left\{I_{j}, I_{k}\right\}=0,
\]

и, следовательно, рассматриваемые системы являются вполне интегрируемыми.

Уравнения движения можно проинтегрировать, например, следующим способом. Из равенств
\[
I_{j}=\alpha_{j}=\text { const }
\]

нетрудно получить систему дифференциальных уравнений для величин $q_{j}$ :
\[
\frac{d q_{j}}{\sqrt{2 a_{j}\left(\alpha_{j}+E c_{j}-U_{j}\right)}}=\frac{d t}{C\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Переходя к новому (\”локальному\”) времени $\tau$ согласно формуле
\[
d \tau=\frac{d t}{C\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)},
\]

приходим к системе
\[
\frac{d q_{j}}{\sqrt{2 a_{j}\left(\alpha_{j}+E c_{j}-U_{j}\right)}}=d \tau .
\]

Отсюда с помощью квадратур можно найти $q_{j}=f_{j}(\tau)$. После этого мы можем выразить $\tau$ через $t$, используя квадратуру
\[
t=\int^{\tau} C\left(q_{1}\left(\tau^{\prime}\right), \ldots, q_{n}\left(\tau^{\prime}\right)\right) d \tau^{\prime} .
\]

Таким образом, решение задачи свелось к решению последовательности одномерных задач, в чем и заключается метод разделения переменных.

Отметим, что часто бывает удобнее применять метод разделения переменных к уравнению Гамильтона – Якоби:
\[
H\left(p_{j}, q_{k}\right)=E, \quad p_{j}=\frac{\partial W}{\partial q_{j}}, \quad W=W\left(q_{1}, \ldots, q_{n} ; \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]
-Это значит, что мы интересуемся решением вида
\[
w=\Sigma w_{j}\left(q_{j}\right) .
\]

Однако подробнее на этом останавливаться не будем (см. [23]).
Заметим, что системы с двумя степенями свободы типа I-IV, рассмотренные в предыдущем разделе, после перехода соответственно к эллиптическим, полярным, параболическим и декартовым координатам*) принимают вид систем Лиувилля (см., например, [23] ) :
\[
\begin{array}{l}
\text { I. } \xi=\frac{1}{2}\left(r_{1}+r_{2}\right), \quad \eta=\frac{1}{2}\left(r_{2}-r_{1}\right), \\
r_{1}=|\mathbf{q}-\mathbf{c}|, \quad r_{2}=|\mathbf{q}+\mathbf{c}|, \quad \mathbf{c}=(c, 0) ; \\
T=\frac{\left[\left(\xi^{2}-c^{2}\right) p_{\xi}^{2}+\left(c^{2}-\eta^{2}\right) p_{\eta}^{2}\right]}{2\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)}, \quad U=\frac{U_{1}(\xi)+U_{2}(\eta)}{\xi^{2}-\eta^{2}}, \\
I=\frac{1}{2} \frac{\left(\xi^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-\eta^{2}\right)}{\xi^{2}-\eta^{2}}\left(p_{\xi}^{2}-p_{\eta}^{2}\right)+ \\
+\frac{\left(c^{2}-\eta^{2}\right) U_{1}(\xi)-\left(\xi^{2}-c^{2}\right) U_{2}(\eta)}{\xi^{2}-\eta^{2}} .
\end{array}
\]
II. $r=|\mathbf{q}|, \quad \theta=\operatorname{arctg}\left(q_{2} / q_{1}\right)$;
\[
T=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+r^{-2} p_{\theta}^{2}\right), \quad U=U_{1}(r)+r^{-2} U_{2}(\theta), \quad I=\frac{1}{2} p_{\theta}^{2}+U_{2}(\theta) .
\]
*) Отметим, что полярные, параболические и декартовы координаты являются предельными случаями эллиптических координат.

\[
\begin{array}{l}
\text { III. } \xi=\frac{1}{2}\left(r+q_{1}\right), \quad \eta=\frac{1}{2}\left(r-q_{1}\right) ; \\
T=\frac{\left(\xi p_{\xi}^{2}+\eta p_{\eta}^{2}\right)}{2(\xi+\eta)}, \quad U=\frac{U_{1}(\xi)+U_{2}(\eta)}{\xi+\eta}, \\
I=\frac{\xi \eta\left(p_{\xi}^{2}-p_{\eta}^{2}\right)}{2(\xi+\eta)}+\frac{\eta U_{1}(\xi)-\xi U_{2}(\eta)}{\xi+\eta} .
\end{array}
\]
IV. $T=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right), \quad U=U_{1}\left(q_{1}\right)+U_{2}\left(q_{2}\right),$.
\[
I=I_{1}=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+U_{1}\left(q_{1}\right) \text {. }
\]

В работе Морера [249] было доказано обратное утверждение: динамические системы вида
\[
H=\frac{1}{2}\left(a_{1} p_{1}^{2}+a_{2} p_{2}^{2}\right)+U\left(q_{1}, q_{2}\right)
\]

интегрируемые методом разделения переменных, имеют вид систем Лиувилля. Относительно качественного поведения траекторий систем Лиувилля см. работу Адамара [190] .

Таким образом, вопрос об интегрируемости систем типа (2.3.20) методом разделения переменных полностью решен.

Однако при переходе к бо́льшему числу степеней свободы ситуация усложняется. Именно, существуют системы, интегрируемые методом раз. деления переменных, которые не сводятся к системам Лиувилля. Рассмотрим еще один тип таких систем.
Б. Системы Штеккеля. Эти системы были открыты Штеккелем в 1891 г. (см. [282-286] ). Гамильтониан таких систем имеет вид
\[
H=\sum_{j=1}^{n} a_{j}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)\left[\frac{1}{2} p_{j}^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right)\right] .
\]

ІІтеккелем была доказана
Т е о р е м а 2.3.1. Система с $H$ вида (2.3.21) допускает разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби (2.3.12) тогда и толькс тогда, когда существует матрица $B$ порядка $n$, элемент $b_{j k}$ которой зависит лишь от $q_{k}$, причем выполнены следующие условия:
\[
\operatorname{det} B
ot \equiv 0, \quad \sum_{k} b_{j k}\left(q_{k}\right) a_{k}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\delta_{j 1} .
\]

Обозначим через $A$ матрицу, обратную к матрице $B$. Тогда
\[
a_{k}=a_{k 1} \text {. }
\]

С помощью матрицы $A$ образуем величины
\[
I_{l}=\Sigma a_{j l}\left[\frac{1}{2} p_{j}^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right)\right], \quad I_{1}=H .
\]

Ут в е р жде и е. Величины $I_{l}$ являются интегралами движения и находятся в инволюции.

Док а з а т е в с т в о. Вычисляя скобки Пуассона величин $I_{k}$ и $I_{l}$, получаем
\[
\left\{I_{k}, I_{l}\right\}=\sum_{r, s}\left(a_{r k} \frac{\partial a_{s l}}{\partial q_{r}}-a_{r l} \frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{r}}\right) p_{r}\left(\frac{1}{2} p_{s}^{2}+U_{s}\right) .
\]

С другой стороны, дифференцируя по $q_{r}$ тождество
\[
\sum_{s} b_{j s}\left(q_{s}\right) a_{s m}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\delta_{j m},
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{s} b_{j s}\left(q_{s}\right) \frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{r}}+\frac{\partial b_{j r}}{\partial q_{r}} a_{r k}=0, \\
\sum_{s} b_{j s}\left(q_{s}\right) \frac{\partial a_{s l}}{\partial q_{r}}+\frac{\partial b_{j r}}{\partial q_{r}} a_{r l}=0 .
\end{array}
\]

Исключая из (2.3.27) и (2.3.27′) величину $\partial b_{j r} / \partial q_{r}$, приходим к соотношению
\[
\sum_{s} b_{j s}\left(a_{r k} \frac{\partial a_{s l}}{\partial q_{r}}-a_{r l} \frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{r}}\right)=0 .
\]

Наконец, умножая (2.3.28) на $a_{m j}$ и суммируя по $j$, получаем (суммирования по индексу $r$ нет)
\[
\left(a_{r k} \frac{\partial a_{s l}}{\partial q_{r}}-a_{r l} \frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{r}}\right)=0,
\]

откуда и следует равенство (2.3.25).
Приведем еще более сильный вариант теоремы Штеккеля.
Т е о р м а 2.3.2. [261] . Для гамиль тоновой системы с $H$ вида (2.3.21) следующие утверждения эквивалентны:
(1) уравнения Гамильтона – Якоби (2.3.12) допускают разделение переменных;
(2) существует матрица $B$ порядка $n$ с определителем $\operatorname{det} B
ot
eq 0$, элемент $b_{j k}$ которой зависит лишь от $q_{k}$, причем выполнены условия (2.3.22);
(3) -существует $n$ квадратичных по импульсам функщионатьно независимых интегралов движения вида (2.3.24).

Итак, для систем Штеккеля существует $n$ квадратичных по импульсам, ортогональных*) интегралов движения (2.3.24). Это позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам. Действительно, из
*) Термин \”ортогональный\” означает отсутствие в величине $I$ слагаемых вида $a_{j k} p_{j} p_{k}, j
eq k$.

равенств
\[
\sum_{j} a_{j l}\left[\frac{1}{2} p_{j}^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right)\right]=\alpha_{l}
\]

сразу же следует, что
\[
\frac{1}{2} p_{j}^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right)=\sum_{k} \alpha_{k} b_{k j}\left(q_{j}\right)^{*}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{j}}\right)^{2}+U_{j}\left(q_{j}\right) .
\]

Таким образом, уравнение Гамильтона – Якоби (2.3.12) для рассматриваемого случая допускает разделение переменных .
\[
W\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\sum_{j=1}^{n} w_{j}\left(q_{j}\right),
\]

и функция $W_{j}\left(q_{j}\right)$ дается формулой
\[
W_{j}\left(q_{j}\right)=\int \sqrt{2\left(\sum_{k} \alpha_{k} b_{k j}\left(q_{j}\right)-U_{j}\left(q_{j}\right)\right)} d q_{j} .
\]

Согласно стандартной процедуре интегрирования уравнения Гамильтона Якоби величины $q_{j}\left(t, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ находятся из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n} \int \frac{b_{1 j} d q_{j}}{\sqrt{2\left(\sum_{k} \alpha_{k} b_{k j}\left(q_{j}\right)-U_{j}\left(q_{j}\right)\right)}}=t, \\
\sum_{j=1}^{n} \int \frac{b_{l j} d q_{j}}{\sqrt{2\left(\sum_{k} \alpha_{k} b_{k j}\left(q_{j}\right)-U_{j}\left(q_{j}\right)\right)}}=\beta_{l}, \quad l=2, \ldots, n .
\end{array}
\]

Отметим, что в случае финитного движения это движение, вообще говоря, будет уже не периодическим, а лишь условно периодическим (см. [23]). Если $a_{j}$ и $b_{j}$ – точки остановки, определяемые условием обращения в нуль функции $f_{j}\left(q_{j}\right)$ (2.3.33), то периоды движения системы определяются матрицей
\[
\omega_{k j}=\int_{a_{j}}^{b_{j}} \frac{b_{k j}\left(q_{j}\right) d q_{j}}{\sqrt{2 f_{j}\left(q_{j}\right)}}, f_{j}\left(q_{j}\right)=\sum_{k}\left[\alpha_{k} b_{k j}\left(q_{j}\right)\right]-U_{j}\left(q_{j}\right) .
\]

Отметим еще, что система Лиувилля является частным случаем системы Ітеккеля. Именно, система Лиувилля получается, если матрица $B$ имеет вид

B. Общий случай разделения переменных. Теорема Штеккеля полностью решает вопрос о разделении переменных для систем с гамильтонианами вида (2.3.21).

Вопрос о разделении переменных для гамильтоновых систем общего вида был рассмотрен в работе Леви-Чивита в 1904 г. [236]. Следуя этой работе, рассмотрим уравнение Гамильтона – Якоби (2.3.12) и предположим, что функция $W\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ имеет вид
\[
W\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\sum_{j} W_{j}\left(q_{j}\right) .
\]

Тогда величина
\[
p_{j}=\frac{\partial W}{\partial q_{j}}=\frac{\partial W_{i}}{\partial q_{j}}
\]

зависит лишь от переменной $q_{j}$. Дифференцируя уравнение (2.3.12) по $q_{j}$, с учетом этого обстоятельства, получаем
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{j}}+\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial q_{j}}=0
\]

или
\[
\frac{\partial p_{j}}{\partial q_{j}}=-\rho_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} / \frac{\partial H}{\partial p_{j}} .
\]

Отсюда следует, что при $i
eq j$
\[
\frac{\partial}{\partial q_{i}} p_{j}=\frac{\partial}{\partial q_{i}}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{j}} / \frac{\partial H}{\partial p_{j}}\right)=0 .
\]

Таким образом, мы приходим к следующему критерию: уравнение Гамильтона $\doteq$ Якоби (2.3.12) интегрируемо методом разделения переменных, если функция $H\left(q_{j}, p_{k}\right)$ удовлетворяет $n(n-1) / 2$ уравнениям $(i>j$ или $i<j$ )
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{j} \partial q_{k}}-\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{j} \partial p_{k}}- \\
-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{j} \partial q_{k}}+\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{j} \partial p_{k}}=0 .
\end{array}
\]

Систему (2.3.42) едва ли представляется возможным исследовать в столь общем виде.
Рассмотрим важный случай, когда
\[
H=T+U, \quad T=\frac{1}{2} \sum_{j, k} a_{j k}(q) p_{j} p_{k}, \quad U=U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]

Тогда система (2.3.42) сводится к следующим уравнениям ( $i>j$ или $i<j$ ):
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial T}{\partial p_{j}} \frac{\partial T}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} T}{\partial q_{j} \partial q_{k}}-\frac{\partial T}{\partial p_{j}} \frac{\partial T}{\partial q_{k}}-\frac{\partial^{2} T}{\partial q_{j} \partial p_{k}}- \\
-\frac{\partial T}{\partial q_{j}} \frac{\partial T}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} T}{\partial p_{j} \partial q_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{j}} \frac{\partial T}{\partial q_{k}} \frac{\partial^{2} T}{\partial p_{j} \partial p_{k}}=0 \\
\frac{\partial T}{\partial p_{j}} \frac{\partial T}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} U}{\partial q_{j} \partial q_{k}}-\frac{\partial T}{\partial p_{j}} \frac{\partial^{2} T}{\partial q_{j} \partial p_{k}} \frac{\partial U}{\partial q_{k}}-\frac{\partial T}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} T}{\partial q_{k} \partial p_{j}} \cdot \frac{\partial U}{\partial q_{j}}+ \\
+\frac{\partial^{2} T}{\partial p_{j} \partial p_{k}}\left\{\frac{\partial T}{\partial q_{j}} \frac{\partial U}{\partial q_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{k}} \frac{\partial U}{\partial q_{j}}\right\}=0 \\
\frac{\partial^{2} T}{\partial p_{j} \partial p_{k}} \frac{\partial U}{\partial q_{j}} \frac{\partial U}{\partial q_{k}}=0
\end{array}
\]

Отметим, что уравнения (2.3.44) содержат лишь кинетическую энергию $T$ и выражают условие интегрируемости уравнений для геодезических в римановом пространстве с метрикой
\[
d s^{2}=\sum_{j, k} g_{j k} d q_{j} d q_{k} .
\]

Здесь $g_{j k}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ – матрица, обратная матрице $a_{j k}$.
Г. Случай двух степеней свободы. В работе [281] Штеккель рассмотрел случай $n=2$ и обнаружил три типа таких метрик.
1. Если обе величины
\[
\rho_{1}=\frac{\partial T}{\partial q_{1}} / \frac{\partial T}{\partial p_{1}} \quad \text { и } \quad \rho_{2}=\frac{\partial T}{\partial q_{2}} / \frac{\partial T}{\partial p_{2}}
\]

являются полиномами по $p_{1}$ и $p_{2}$, то
\[
d s^{2}=d q_{1}^{2}+2 \cos \left(X_{1}+X_{2}\right) d q_{1} d q_{2}+d q_{2}^{2}, X_{j}=X\left(q_{j}\right) .
\]

Система допускает два линейных по $p_{j}$ интеграла движения.
2. Лишь одна из величин (2.3.48) является полиномом по $p_{1}$ и $p_{2}$. Тогда система допускает линейный по импульсу интеграл вида
\[
X_{1}\left(q_{1}\right) p_{1} \text { или } X_{2}^{*}\left(q_{2}\right) p_{2} .
\]

Следовательно, система обладает циклической координатой $q_{1}$ или $q_{2}$ и интегрируется в квадратурах.
3. Обе величины (2.3.48) не являются полиномами по $p_{j}$. Тогда величина $a_{12} \equiv 0$, и этот случай сводится к случаю Лиувилля, рассмотренному в п. $A$ :
\[
d s^{2}=\left(c_{1}\left(q_{1}\right)+c_{2}\left(q_{2}\right)\right)\left(d q_{1}^{2}+d q_{2}^{2}\right) .
\]

Следует иметь в виду, что в работе Леви-Чивиты [236] и в ряде последующих работ глобальные (топологические) свойства конфигурационного пространства не были рассмотрены, так что полученные результаты относятся лишь к простейшему случаю, когда конфигурационным пространством является вся двумерная плоскость (или же некоторая односвязная область этой плоскости) .
Д. Геодезические потоки на поверхности. Описание метрик на поверхности рода 0 , т.е. поверхности, топологически эквивалентной двумерной сфере, допускающих линейные и квадратичные интегралы движения, было дано в работе Дарбу [46] и работе [82]. При этом метрика типа (2.3.49) на сфере отсутствует.

Описание интегрируемых метрик на торе (поверхности рода 1) дано в работе [82]. Итак, рассмотрим движение по геодезической в фиксированной метрике $g_{i j}$ на ориентируемой поверхности $S_{g}$ рода $g$ (т.е. поверхности с $g$ ручками) – геодезический поток на $S_{g}$. В. простейших случаях $g=0$, $S_{0}$ – сфера, $g=1, S_{1}$ – тор. Напомним, что эйлерова характеристика $\chi$ поверхности $S_{g}$ равна $\chi=(2-2 g)$.

Мы имеем гамильтонову систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} g^{i j}(q) p_{i} p_{j}, \quad i, j=1,2,
\]

где $g^{i j}$ – матрица, обратная матрице $g_{i j}$. Поэтому вопрос об интегрируемости такой системы сводится к вопросу о существовании дополнительного интеграла движения, функционально независимого от $H$. Напомним прежде всего, что любая метрика на поверхности $S_{g}$ после перехода к так называемым изотермическим координатам $x$ и $y$ принимает вид
\[
d s^{2}=a(x, y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)
\]

и , следовательно,
\[
H=\frac{1}{2 a}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right) .
\]

Позтому мы можем ограничиться рассмотрением метрик и гамильтонианов такого вида. Если ограничиться случаем дополнительного интеграла движения, полиномиально зависящего от импульсов, то для случая сферы $S_{0}$ можно описать все такие метрики (или, что эквивалентно, гамильтонианы).

Т е о р е м а 2.3.3. [82]. Метрика класса $C^{2}$ на сфере, геодезический поток которой имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, функционально независимый от интеграла энергии, в некоторых изотермических координатах $z=x+i y$, заданных на сфере с одной выколотой точкой, имеет один из двух видов:
(a) $a(x, y)=f\left(x^{2}+y^{2}\right)$,

где $f$ – такая положительная функция класса $C^{2}$, что $f(\xi)=(c+o(1)) / \xi$ при $\xi \rightarrow \infty$; такие геодезические потоки допускают линейный по импульсам интеграл движения
(б) $a(x, y)=\frac{f(u(x, y))+h(v(x, y))}{\left|4 z^{3}+g_{2} z+g_{3}\right|}$,

где $g_{2}^{3}-27 g_{3}^{2}
eq 0$. При этом $u$ и $v-$ вещественная и мнимая части преобразования $w(z)=\mathscr{P}^{-1}(z)$, где $\mathscr{P}^{\mathfrak{D}}(w)-$ функция Вейерштрасса: $\mathscr{P}(w)=$ $=\mathscr{P}\left(w \mid g_{2}, g_{3}\right)$ с периодами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ вещественны, а $f$ и $h$ – такие функции класса $C^{2}$, что:
(1) $f(u)=\left(u-k \omega_{1} / 2\right)^{2}(c+o(1))$ при $u \rightarrow \frac{1}{2}\left(k \omega_{1}\right)$

и аналогично
\[
h(v)=\left(v-k \omega_{2} / 2\right)(c+o(1))
\]

при $v \rightarrow k \omega_{2} / 2$ для любого фиксированного целого $k, c>0$;
(2) значения функций $f$ и $h$ на отрезках $\left[\omega_{1} / 2, \omega_{1}\right],\left[\omega_{2} / 2, \omega_{2}\right]$ определяются через их значения на отрезках $\left[0, \omega_{1} / 2\right],\left[0, \omega_{2} / 2\right]$ по формулам
\[
\begin{array}{ll}
f\left(\omega_{1} / 2+\tau\right)=f\left(\omega_{1} / 2-\tau\right), & \tau \in\left[0, \omega_{1} / 2\right], \\
h\left(\omega_{2} / 2+\tau\right)=h\left(\omega_{2} / 2-\tau\right), & \tau \in\left[0, \omega_{2} / 2\right] ;
\end{array}
\]
(3) $f$ и $h$ периодичны с периодами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно (ясно, что при таких $f$ и $h$ значение $f(u(z))+h(v(z))$ не зависит от выбора значения многозначной функции $\left.\mathscr{P}^{-1}(z)\right)$.

Обратно, положительная функция $a(x, y): \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$, имеющая один из двух указанных видов, задает метрику на сфере $S^{2}$, геодезический поток которой имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, независимый от интеграла энергии.

Вопрос о существовании полиномиальных по импульсам интегралов движения для натуральной гамильтоновой системы
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U\left(q_{1}, q_{2}\right)
\]

на двумерном торе рассматривался в работе [72] .
Здесь $U\left(q_{1}, q_{2}\right)$ – потенциальная энергия системы – $2 \pi$-периодическая функция переменных $q_{1}$ и $q_{2}$.
Приведем сначала хорошо известные результаты.
1. Линейный по импульсам интеграл $I_{1}$ существует тогда и только тогда, когда $U=f(m x+n y)$, где $m$ и $n-$ целые числа, $f-2 \pi$-периодическая функция
\[
U=f(m x+n y) .
\]
2. Квадратичный по импульсам интеграл $I_{2}$ существует тогда и только тогда, когда
\[
U=f_{1}\left(m_{1} x+n_{1} y\right)+f_{2}\left(m_{2} x+n_{2} y\right),
\]

где $m_{i}, n_{i}$ – целье числа, $m_{1} m_{2}=-n_{1} n_{2}$, а функции $f_{j} 2 \pi$-периодичнь. При этом
\[
\begin{array}{l}
I_{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right) p_{1}^{2}+4 p_{1} p_{2}-\left(r_{1}+r_{2}\right) p_{2}^{2}+ \\
+2\left(r_{1}-r_{2}\right)\left(f_{1}+f_{2}\right), \quad r_{j}=\frac{m_{j}}{n_{j}} .
\end{array}
\]

В работе [72] показано, что для рассматриваемых систем интегралов третьей и четвертой степени по импульсам, функционально независимых от интегралов низших степеней, не существует.
А именно, были доказаны следующие теоремы.
Т е о рем а 2.3.4. Для рассматриваемого случая кубический по импульсам интеграл $I_{3}$ существует тогда и только тогда, когда реализуется случай 1 , т.е. существует линейный по импульсам интеграл $I_{1}$. При этом $I_{3}=a I_{1} H+b I_{1}^{3}$, где $a$ и $b-$ константы.

Т е о р е м а 2.3.5. Интеграл четвертой степени по импульсам. $I_{4}$ существует тогда и только тогда, когда реализуется случай 2 , т.е. существует квадратичный по импульсам интеграл $I_{2}$ и при этом
\[
I_{4}=a I_{2}^{2}+b I_{2} H+c H^{2} .
\]
3 амечание е. Результаты теорем 2.3.4 и 2.3.5, по-видимому, coxраняют силу и для случая полиномиального интеграла любой степени по импульсам, т.е.,по-видимому, случаи 1 и 2 исчерпывают все случаи дополнительных интегралов, полиномиальных по импульсам.

В случае поверхности рода $g>1$ существуют топологические и геометрические препятствия для интегрируемости геодезических потоков.
Пусть $S_{g}$ – связная, компактная ориентируемая поверхность,
\[
H(p, q)=T(p, q)+U(q)
\]

вещественно-аналитическая функция на кокасательном расслоении $T^{*} S_{g}$, $T(p, q)$ – квадратичная форма по импульсам $p$.

Т е о ре м а 2.3.6. [21] . Если род поверхности $S_{g}$ больше 1 , т.е. $S_{g}$ не гомеоморфна сфере $S^{2}$ или тору $T^{2}$, то рассматриваемая система не имеет интеграла движения, аналитического на $T^{*} S_{g}$ и функционально независимого от интеграла энергии.
3 ам е чан и е [21]. В бесконечно дифференцируемом случае теорема 2.3.6, вообще говоря, не справедлива: для любой гладкой поверхности $S_{g}$ можно указать \”натуральный\” гамильтониан
\[
H=T(p, q)+U(q)
\]

такой, что система имеет дополнительный бесконечно дифференцируемый интеграл, независимый (точнее, не всюду зависимый) от функции $H$.

Доказательство этого утверждения см. в обзоре [21], где также детально рассмотрен вопрос о неинтегрируемости в классической механике.

Отметим, что теорема 2.3.6 остается справедливой и для случая неориентируемых компактных поверхностей, если дополнительно исключить проективную плоскость $P$ и бутылку Клейна $K$.
Приведем еще один результат (см. [2]).
Т е о ре м а 2.3.7. [C. Болотин, Д. Абраров]. Пусть $M^{2 n}-$ связное, компактное ориентируемое $2 n$-мерное многообразие. Если гамильтонова натуральная система (т.е. система вида $H=\frac{p^{2}}{2}+U(q)$ ) на кокасательном расслоении $T^{*} M$ имеет $k \geqslant n=(\operatorname{dim} M) / 2$ независимых линейных интегралов в инволюции, то эйлерова характеристика $M$ неотрицательна: $x(M) \geqslant 0$.

Сл е д с т в и е 2.3.8. Пусть $\operatorname{dim} M=2$. Если натуральная система имеет линейный по скорости интеграл движения, то $M$ диффеоморфно сфере или тору. В неориентируемом случае надо добавить проективную плоскость $P$ и бутылку Клейна $K$.

В заключение этого раздела отметим, что чрезвычайно сложный характер поведения геодезических на компактных поверхностях отрицательной кривизны был установлен Адамаром еще в 1898 г. [189] .
E. Случай трех степеней свободы. Этот случай был полностью разобран в работе Даль-Аква [156] на основе метода Леви-Чивиты. Оказалось, что здесь разделение переменных имеет место для метрик следующих четырех типов (индекс $j$ у функции указывает, что эта. функция зависит лишь от переменной $q_{j}$ ):
1. $d s^{2}=\sum_{j, k}\left(a_{j} a_{k}+b_{j} b_{k}+c_{j} c_{k}\right) d q_{j} d q_{k}$.
2. $d s^{2}=\left(a_{3}+2 l_{1} e_{3}+l_{1}^{2} b_{3}\right) d q_{1}^{2}+\left(m_{2}^{2} a_{3}+2 m_{2} e_{3}+b_{3}\right) d q_{2}^{2}+$
$+d q_{3}^{2}+2\left(m_{2} a_{3}+l_{1} b_{3}+\left(1+l_{1} m_{2}\right) e_{3}\right) d q_{1} d q_{2}+$
$+2\left(c_{3}+m_{2} d_{3}\right) d q_{2} d q_{3}+2\left(l_{1} c_{3}+d_{3}\right) d q_{1} d q_{3}$.
3. $d s^{2}=\frac{a_{1}-b_{2}}{c_{1}-f_{2}}\left[\left(l_{1}^{2}+c_{1}-f_{2}\right) d q_{1}^{2}+\left(m_{2}^{2}+c_{1}-f_{2}\right) d q_{2}^{2}+\right.$ $\left.+d q_{3}^{2}+2 l_{1} m_{2} d q_{1} d q_{2}+2 m_{2} d q_{2} d q_{3}+2 l_{1} d q_{3} d q_{1}\right]$.
\[
\text { 4*) } d s^{2}=\sum_{j=1}^{3} r_{j}\left(q_{j+1}-q_{j+2}\right) \sum_{r=1}^{3} \frac{d q_{r}^{2}}{\left|q_{r+1}-q_{r+2}\right|} .
\]

Приведем еще несколько примеров интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы, для которых гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+q_{1}^{4}+a q_{1}^{2} q_{2}^{2}+b q_{2}^{4}+c q_{1}^{2} q_{3}^{2}+d q_{2}^{2} q_{3}^{2}+e q_{3}^{4} .
\]

Приведем взятую из работы [162] таблицу известных интегрируемых случаев.
Ж. Общий случай. Исследование проблемы разделения переменных было продолжено в работах Бургатти [129] и Даль-Аквы [157]. Ими было показано, что в случае $n$ степеней свободы существует $(n+1)$ тип метрик (или, что эквивалентно, кинетических энергий), которые допускают разделение переменных.

Явный вид этих метрик для случая $n$ степеней свободы был найден в работе Хаваса в 1975 г. [194, 195].

Перейдем к изложению результатов этих работ. Рассмотрим уравнение Гамильтона-Якоби
\[
H=T=\frac{1}{2} \underset{j, k}{\Sigma} a_{j k}(q) \frac{\partial W}{\partial q_{j}} \frac{\partial W}{\partial q_{k}}=E
\]
*) Входящие в эту формулу индексы следует рассматривать по модулю три.

Таблица 2
Значения параметров, для которьх система (23.68) интегрируема
и разделим координаты $q_{j}(j=1, \ldots, n)$ на две группы по следующему принципу:
1) величину $q_{j}$ отнесем к первой группе, если функция $\partial T(q, p) / \partial q_{j}$, рассматриваемая как полином от $p_{k}$, делится на $\partial T(q, p) / \partial p_{j}$ (это эквивалентно делимости $\partial T(q, \dot{q}) / \partial q_{j}$ на $\left.\dot{q}_{j}\right)$;
2) в противном случае координату $q_{k}$ отнесем ко второй группе.
Пусть $q_{1}, \ldots, q_{r}$ – координаты первой группы, $q_{r+1}, \ldots, q_{n}$ – координаты второй группы. Тогда, как показано в работе Бургатти [129], уравнения для функции $W_{j}\left(q_{j}\right)$ имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{1}}=b_{11}\left(q_{1}\right) \alpha_{1}+\ldots+b_{1 r}\left(q_{1}\right) \alpha_{r}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\partial W_{r}}{\partial q_{r}}=b_{r_{1}}\left(q_{r}\right) \alpha_{1}+\ldots+b_{r r}\left(q_{r}\right) \alpha_{r}, \\
\frac{\partial W_{r+1}}{\partial q_{r+1}}=b_{r+1,1}\left(q_{r+1}\right) \alpha_{1}+\ldots+b_{r+1, r}\left(q_{r+1}\right) \alpha_{r}+ \\
+\psi_{r+1}\left(q_{r+1}\right) \sqrt{2 E-\epsilon_{r+1}+b_{r+1}, r+1}\left(q_{r+1}\right) \alpha_{r+1}+\ldots, \\
\text {. . … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\partial W_{n}}{\partial q_{n}}=b_{n 1}\left(q_{n}\right) \alpha_{1}+\ldots+b_{n r}\left(q_{n}\right) \alpha_{r}+ \\
+\psi_{n}\left(q_{n}\right) \sqrt{2 E-\epsilon_{n}+b_{n, r+1}\left(q_{n}\right) \alpha_{r+1}+\ldots+b_{n, n-1} \alpha_{n-1}+2 b_{n n}\left(q_{n}\right)}, \\
\end{array}
\]

где $\epsilon_{r+1}, \ldots, \epsilon_{n}$ – однородные квадратичные формы относительно величин $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$; коэффициенты формы $\epsilon_{k}$ зависят лишь от координаты $q_{k}$.

Найдем из первых $r$ уравнений выражения для $\alpha_{1} \ldots \alpha_{r}$ через $\partial w_{j} / \partial q_{j}$ и подставим эти выражения в оставшиеся уравнения.

Исключая из них ( $n-r-1$ ) константу, за исключением одной константы $E$, получаем уравнение Гамильтона-Якоби, интегрируемое методом разделения переменных.

Нетрудно видеть, что такое уравнение допускает $r$ линейных (по импульсам) интегралов движения и ( $n-r$ ) квадратичных интегралов; причем все они находятся в инволюции.

Индекс $r$ при этом может принимать значения $0,1, \ldots, n$; соответственно мы получаем ( $n+1$ ) тип уравнений Гамильтона-Якоби, допускающих разделение переменных.

Таким образом, показано, что выполнение уравнений (2.3.70) является достаточным условием для решения уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных.

Тот факт, что эти уравнения являются также необходимыми условиями для разделения переменных, был установлен в работе Даль-Аквы [157].

Вопрос о том, какие из рассмотренных метрик являются плоскими, т.е. в каких случаях тензор кривизны тождественно равен нулю, был разобран в работе [304].