В работе Эро, Маккина и Мозера [116] (которая была основана на более ранних работах Крускала [227] и Тикстуна [295]) была открыта глубокая связь между рациональными решениями $u(x, t)$ уравнения Кортевега-де Фриза
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}
\]

и решениями многочастичной системы с потенциалом $u\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=$ $=\sum_{j<k}\left(a_{j}-q_{k}\right)^{-2}$, описываемой уравнениями

Именно, в работе [116] была доказана
Теорема. Функция $u(x, t)$ вида
\[
u(x, t)=2 \sum_{j=1}^{n}\left(x-x_{j}(t)\right)^{-2}
\]

является решением уравнения (5.2.1) в том и только том случае, когда:
а) $n=\frac{d(d+1)}{2}, d$-целое;
б) величины $\left[x_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, x_{n}\left(t_{0}\right), \quad p_{1}\left(t_{0}\right), \ldots, p_{n}\left(t_{0}\right)\right]$ определяют положение равновесия гамильтоновой системы с $H=H_{2}=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)$, где $L$ дается формулой (5.2.5), или, иными словами, выполняется следующее условие:
\[
p_{j}\left(t_{0}\right)=0, \quad \Sigma_{k}^{\prime}\left(x_{j}\left(t_{0}\right)-x_{k}\left(t_{0}\right)\right)^{-3}=0 ;
\]
в) величины $x_{j}(t)$ являются решениями уравнений Гамильтона для системы с гамильтонианом
\[
H=H_{3}=\frac{1}{3} \operatorname{tr}\left(L^{3}\right) .
\]

Нетрудно показать, что эти уравнения эквивалентны следующим:
\[
\dot{x}_{j}=6 \sum_{k}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2}
\]

или
\[
\ddot{x}_{j}=2 \underset{k}{\sum^{\prime}}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-3} .
\]

Аналогичные результаты были получены также в работе [149], где было также рассмотрено уравнение Бюргерса-Хопфа и обсуждался ряд других вопросов.
Функцию $u(x, t)$ в (2.3) можно переписать в виде
\[
u(x, t)=-2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln P_{d}(x, t),
\]

где $P_{d}(x, t)$ – полином по $x$ степени $n$
\[
P_{d}(x, t)=\prod_{j=1}^{n}\left(x-x_{j}(t)\right), \quad n=\frac{d(d+1)}{2} .
\]

В простейшем случае $d=2$ имеем
\[
P_{2}=x^{3}+t, \quad u(x, t)=6 x\left(x^{3}-2 t\right)\left(x^{3}+t\right)^{-2} .
\]

В работе [114] для полиномов $P_{k}$ была получена следующая рекуррентная формула:
\[
P_{k+1}^{\prime} P_{k-1}-P_{k-1}^{\prime} P_{k+1}=(2 k+1) P_{k} .
\]

В работе [83] были рассмотрены рациональные по $x$ решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили
\[
\partial_{x}\left(u_{t}-6 u u_{x}-u_{x x x}\right)=3 d^{2} u_{y y} .
\]

Полюса функщии $u(x, y, t)$ зависят уже от двух переменных $y$ и $t$, которые играют роль временных переменных для гамильтоновой системы с двумя гамильтонианами
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}, \quad H_{3}=\frac{1}{3} \operatorname{tr} L^{3} .
\]

Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{j}}{\partial y}=\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{j}}, \quad \frac{\partial p_{j}}{\partial y}=-\frac{\partial H_{2}}{\partial x_{j}}, \\
\frac{\partial x_{j}}{\partial t}=\frac{\partial H_{3}}{\partial p_{j}}, \quad \frac{\partial p_{j}}{\partial t}=-\frac{\partial H_{3}}{\partial x_{j}} .
\end{array}
\]

В работе [83] была доказана
Т е о р е м а. Решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили (5.2.13), убывающие при $|x| \rightarrow \infty$, имеют вид
\[
u=2 \sum_{j}\left(x-x_{j}(y, t)\right)^{-2},
\]

где величины $x_{j}(y, t)$ удовлетворяют уравнениям (5.2.15). Формулой (5.2.16) описываются все убывающие по $x$ решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили.

В работе [73] были изучены неубывающие рациональные решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили. Так же, как и для решений многочастичных систем типа I-III, задача была сведена к нахождению собственных значений некоторой матрицы.

Относительно связи эллиптических решений уравнения Кадомцева Петвиашвили с решениями многочастичной задачи, потенциал взаимодействия для которой дается $\mathscr{P}$-функцией Вейерштрасса, см. работу [85].

Еще одним примером уравнения, обладающего рациональными решениями, является уравнение Бенджамина – Оно
\[
2 u_{t}+2 u u_{x}+H u_{x x}=0 .
\]

Это уравнение, так же как и уравнение Кортевега-де Фриза, описывает волны на воде. В (5.2.17) символ $H$ означает преобразование Гильберта
\[
H u(x)=\frac{P}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(y)}{y-x} d y .
\]

Символ $P$ означает главное значение.
Как было показано в работах [145-148], это уравнение обладает рациональными по $x$ решениями вида
\[
u(x, t)=i \sum_{j}\left\{\left(x-a_{j}(t)\right)^{-1}-\left(x-\bar{a}_{j}(t)\right)^{-1}\right\} .
\]

Здесь все величины $a_{j}(t)$ являются различными комплексными числами, находящимися в верхней полуплоскости комплексной переменной $x$.

Подставляя выражение (5.2.19) в уравнение (5.2.17), получаем уравнения движения для величин $a_{j}(t)$
\[
i \dot{a}_{j}(t)=\sum_{k}^{\prime}\left(a_{k}-a_{j}\right)^{-1}+\sum_{k}^{\prime}\left(a_{j}-\bar{a}_{k}\right)^{-1} .
\]

Дифференцируя (2.20) еще раз по времени и еще раз используя (2.20), получаем
\[
\ddot{a}_{j}=2 \Sigma_{k}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right)^{-3} \text {. }
\]

Таким образом, полюса решения уравнения Бенджамина – Оно движутся так же, как частицы в системах типа I. Подчеркнем, что в отличие от случая уравнения Кортевега-де Фриза на величины $a_{j}$ не накладывается никаких дополнительных ограничений типа (5.2.5).

Помимо рациональных решений для уравнения Бенджамина – Оно существуют также тригонометрические решения:
\[
u(x, t)=i\left\{\sum_{k} \operatorname{tg}\left(x-a_{k}(t)\right)-\sum_{k} \operatorname{tg}\left(x-\bar{a}_{k}(t)\right)\right\} .
\]

Величины $a_{j}(t)$, как нетрудно показать, удовлетворяют уравнениям
\[
i \dot{a}_{j}=\left\{\sum_{k}^{\prime} \operatorname{tg}\left(a_{k}-a_{j}\right)+\sum_{k}^{\prime} \operatorname{tg}\left(a_{j}-\bar{a}_{k}\right)\right\} .
\]

Таким образом, полюса в рассматриваемом случае движутся так же, как частицы системы типа III:
\[
\ddot{a}_{j}=2 \sum_{k}^{\prime} \operatorname{cosec}\left(a_{j}-a_{k}\right) \operatorname{tg}\left(a_{j}-a_{k}\right) .
\]

В качестве последнего примера рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза при наличии затухания [144]:
\[
u_{t}+u_{x x x}-12 u u_{x}-c H u_{x}=0 .
\]

Здесь $H$ – преобразование Гильберта (5.2.18). В этом случае также имеется класс убывающих рациональных решений уравнения (5.2.25). Простейшая из них имеет вид
\[
u(x, t)=[x-a-i c(t-\bar{t})]^{-2}
\]

и становится сингулярным (для вещественных $x$ ) при $t=\bar{t}$.
Более общее решение имеет вид
\[
u(x, t)=\sum_{j=1}^{n}\left[x-x_{j}(t)\right]^{-2},
\]

где все величины $x_{j}$ находятся в верхней полуплоскости. Производя замену переменных
\[
x_{j}(t)=z_{j}(t)+i c t,
\]

можно преобразовать уравнения для $x_{j}(t)$ к уравнениям для полюсов обычного уравнения Кортевега-де Фриза (см. начало настоящего раздела) :
\[
\dot{z}_{j}=-12 \underset{k}{\Sigma^{\prime}}\left(z_{j}-z_{k}\right)^{-2}, \quad \sum_{k}^{\prime}\left(z_{j}-z_{k}\right)^{-3}=0 .
\]