Пусть $M$ – многообразие с пуассоновой структурой $\{$,$\} . Гамильтонова$ динамическая система определяется заданием функции Гамильтона $H(x)$, и ее уравнения движения имеют вид
\[
\dot{x}^{j}=\left\{H(x), x^{i}\right\},
\]

где $x^{j}$ – локальные координаты на $M$, точка означает дифференцирование по времени. Пусть на $M$ гамильтоновым образом действует группа Ли $G$, причем функция $H$ инвариантна относительно этого действия. Такую систему
\[
\{M,\{,\}, H, G\}
\]

назовем гамильтоновой системой с симметрией группы $G$.
Одним из важнейших свойств гамильтоновой системы с симметрией является наличие у такой системы интегралов движения.

Т е о рем а 1.6.1 [1] . Пусть мы имеем динамическую систему с функцией Гамильтона $H(x)$ и пусть $H(x)$ инвариантна относительно гамильтонова действия групиы $G$ на $M$. Тогда момент $\mu(x)$ (определенный в предыдущем разделе) является интегралом движения рассматриваемой системы.

Эта теорема является обобщением хорошо известной теоремы Э. Нётер. Таким образом, наличие симметрии у системы дает возможность найти для нее интегралы движения. Следует, однако, иметь в виду, что нахождение симметрии системы по известным интегралам движения в ряде случаев может оказаться весьма сложной задачей.

В конкретных случаях для нахождения гамильтоновых систем с симметриями бывает удобнее фиксировать сначала $M,\{$,$\} и G$, и затем находить условия, при которых гамильтониан $H$ инвариантен относительно действия группы.
Приведем несколько примеров.
\[
\text { 1. } M=\mathbb{R}^{2 n}=\left\{x=(p, q): p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)\right\} \text {, }
\]

скобка Пуассона стандартная, группа $G$ однопараметрическая и действует на $M$ так:
\[
q_{s}: p_{j} \rightarrow p_{j}, q^{j} \rightarrow q^{j}+s .
\]

Эта группа порождается векторным полем
\[
X_{\xi}=\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial q^{j}} .
\]

Условие инвариантности гамильтониана $H$ имеет вид
\[
H\left(p_{j}, q^{k}+s\right)=H\left(p_{j}, q^{k}\right),
\]

или
\[
X_{\xi} \cdot H=0 .
\]

Отсюда следует, что общий вид гамильтониана, инвариантного относительно $G$, таков:
\[
H\left(p_{j}, q^{k}\right)=F\left(p_{j}, q^{k}-q^{l}\right) .
\]

Величина $p=\Sigma_{j} p_{j}$ является интегралом движения.
2. Пространство $M$ и скобка Пуассона те же, что и в предыдущем примеpe. Группа $G=\{g\}=\operatorname{SO}(n)-$ группа вращений $n$-мерного пространства
\[
g:(p, q) \rightarrow(g p, g q) .
\]

Условие инвариантности гамильтониана $H$ имеет вид
\[
H(g p, g q)=H(p, q) .
\]

Обший вид такого гамильтониана
\[
H=H\left(p^{2}, q^{2}, p q\right) .
\]

Величины
\[
l_{j k}=\left(q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}\right)
\]

являются интегралами движения.
3. Пусть $H$ – гамильтониан $n$-мерного осциллятора,
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+q^{2}\right)
\]
( $M$ и скобка Пуассона те же, что и в примере 1). Этот гамильтониан инва риантен не только относительно группы $\mathrm{SO}(n)$, но также относительнс более широкой группы, а именно группы SO (2n). Однако преобразова ния из этой группы не сохраняют симплектическую форму $\omega=d p_{j} \wedge d q_{j}$ Форма $\omega$, однако, инвариантна относительно группы $\operatorname{Sp}(2 n ; \mathrm{RR})$. Гоэтому наша система инвариантна относительно группы $G=\operatorname{Sp}(2 n, \mathrm{R}) \cap \operatorname{SO}(2 n)$ которая является максимальной компактной подгруппой в $\operatorname{Sp}(2 n, \mathbb{R})$ и изоморфна группе $\mathrm{U}(n)$. Алгебра Ли этой групшы состоит из матриц виді
\[
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
-B & A
\end{array}\right), \quad A^{\prime}=-A, \quad B^{\prime}=B .
\]

Интегралы движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
l_{j k}=q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}, \quad l_{j k}=-l_{k j}, \\
f_{j k}=q_{j} q_{k}+p_{j} p_{k}, \quad f_{j k}=f_{k j} .
\end{array}
\]

В заключение этого раздела отметим, что наличие интегралов движения приводит к уменьшению размерности многообразия, на котором происхо. дит движение. Именно, многообразие поверхности уровней интегралов движения $F_{\alpha}, M_{c}=\left\{x: F_{\alpha}(x)=c_{\alpha}\right\}$ инвариантно относительно динамики В разделе 1.8 мы рассмотрим замечательный класс гамильтоновых систем для которых это многообразие является $n$-мерным тором.