В данном разделе, следуя работе [174], используем конструкцию определенного семейства гамильтоновых систем, связанных с эрмитово симметрическими пространствами. Гамильтониан такой системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} p_{k}^{2}+U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right),
\]

где $U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ – четный полином четвертой степени по переменным $q_{j}$. Важность изучения таких систем связана с тем, что их можно использовать как простейшие нелинейные аппроксимации для четных потенциалов в окрестности положения равновесия. Отметим, что такие системы являются обобщением системы, рассмотренной в предыдущем разделе.

Напомним сначала необходимые для нас сведения из теории эрмитово симметрических пространств. Пусть $\mathscr{G}$ – вещественная простая алгебра Ли. Тогда
\[
\mathscr{G}=\mathscr{K} \oplus \mathscr{P},
\]

где $\mathscr{K}$ – максимальная компактная подалгебра в $\mathscr{G}, \mathscr{P}$ – пространство, дополнительное к $\mathscr{K}$ в $\mathscr{G}$. При этом
\[
[\mathscr{K}, \mathscr{K}]=\mathscr{K}, \quad[\mathscr{K}, \mathscr{P}]=\mathscr{P}, \quad[\mathscr{P}, \mathscr{P}]=\mathscr{K} .
\]

Специфическая особенность эрмитово симметрического пространства заключается в том, что существует элемент $A \in \mathscr{K}$ такой, что $\mathscr{K}$ – это централизатор $A$ в $\mathscr{G}$, т.е. $\mathscr{K}$ – это множество элементов $B \in \mathscr{G}$ таких, что $[B, A]=0$. Элемент $A$ сильно вырожден: для него собственные значения матрицы $\mathrm{ad}_{A}$ равны $0, \pm a$. Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}=\mathscr{P}^{+} \oplus \mathscr{P O}^{-}, \\
{[A, \mathscr{K}]=0, \quad\left[A, X^{ \pm}\right]= \pm a X^{ \pm}, \quad X^{ \pm} \in \mathscr{P}^{ \pm} .}
\end{array}
\]

Для величины $Q=Q(x, t) \in \mathscr{P}$ рассмотрим линейную спектральную _адачу
\[
\psi_{x}=(Q+\lambda A) \psi,
\]

где $\lambda$ – спектральный параметр, $t$ – время, а зависимость $\psi(x, t)$ от времени определяется уравнением
\[
\psi_{t}=P(x, t, \lambda) \psi .
\]

Тогда условие совместности уравнений (3.11.4) и (3.11.5) имеет вид
\[
Q_{t}=P_{x}-[Q+\lambda A, P] .
\]

Пусть $e_{ \pm \alpha}$ – базис пространства $\mathscr{P}^{ \pm}, \Lambda$ – постоянная диагональная матрица,
\[
\begin{aligned}
Q & =\sum_{\alpha}\left(q^{\alpha} e_{\alpha}+r^{-\alpha} e_{-\alpha}\right) \\
P & =\frac{1}{a} \sum_{\alpha}\left(q_{x}^{\alpha} e_{\alpha}-r_{x}^{-\alpha} e_{-\alpha}\right)-\frac{1}{a} \sum_{\alpha, \beta} q^{\alpha} r^{-\beta}\left[e_{\alpha}, e_{\beta}\right]+\Lambda+\lambda Q+\lambda^{2} A .
\end{aligned}
\]

Тогда уравнения совместности имеют вид
\[
\begin{array}{l}
a q_{t}^{\alpha}=q_{x x}^{\alpha}+\sum_{\beta, \gamma, \delta} R_{\beta \gamma-\delta}^{\alpha} q^{\beta} q^{\gamma} r^{-\delta}+\omega_{\alpha} q^{\alpha}, \\
-a r_{t}^{-\alpha}=r_{x x}^{-\alpha}+\sum_{\beta, \gamma, \delta}^{\Sigma} R_{-\beta-\gamma \delta}^{-\alpha} r^{-\beta} r^{-\gamma} q^{\delta}+\omega_{\alpha} r^{-\alpha},
\end{array}
\]

где $R_{\beta, \gamma,-\delta}^{\alpha}$ – тензор кривизны данного симметрического пространства, числа $\omega_{\alpha}$ – линейные комбинации собственных значений матрицы $\Lambda$. Интегрируемые квадратичные потенциалы соответствуют стационарным потокам системы (3.11.9). При этом, как нетрудно проверить, эти потоки являются гамильтоновыми с гамильтонианом
\[
\begin{array}{l}
H=\sum_{\alpha, \beta} g^{\alpha,-\beta} p_{\alpha} s_{-\beta}+\frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} R_{-\alpha \beta \gamma-\delta} r^{-\alpha} q^{\beta} q^{\gamma} r^{-\delta}+ \\
+\sum_{\alpha, \beta} \omega_{\alpha} g_{\alpha-\beta} q^{\alpha} r^{-\beta},
\end{array}
\]

где величины $p_{\alpha}=\sum_{\beta} g_{\alpha,-\beta} r_{x}^{-\beta}$ и $s_{-\beta}=\sum_{\alpha} g_{\alpha,-\beta} q_{x}^{\alpha}$ – это импульсы, канонически сопряженные координатам $q^{\alpha}$ и $r^{-\beta}$ соответственно, а $g_{\alpha \beta}=$ $=\operatorname{tr}\left(e_{\alpha} e_{\beta}\right)-$ метрика на симметрическом пространстве. Эти уравнения допускают представление Лакса
\[
\frac{\partial L}{\partial x}=[Q+\lambda A, L]
\]
(при этом следует считать переменную $x$ временной переменной).
Заметим, что
\[
H=\left.\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)\right|_{\lambda=0} .
\]

Интересные интегрируемые системы получаются при ограничении
\[
r^{-\alpha}=-q^{\alpha}, s_{-\alpha}=-p_{\alpha} .
\]

В этом случае канонические уравнения имеют вид
\[
q_{x x}^{\alpha}=R_{\beta \gamma-\delta}^{\alpha} q^{\beta} q^{\gamma} q^{\delta}-\omega_{\alpha} q^{\alpha} .
\]

Таким образом, каждому эрмитово симметрическому пространству размерности $2 n$ (размерность пространства всегда четна) соответствует интегрируемая гамильтонова система с $n$ степенями свободы. Как хорошо известно, имеются четыре бесконечные серии эрмитово симметрических пространств. Приведем потенциалы для некоторых простейших систем:
\[
\begin{array}{l}
U\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \omega_{j} q_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{n} q_{k}^{2}\right)^{2}, \\
U\left(q_{1}, \ldots, q_{4}\right)=\frac{1}{2} \sum_{1}^{4} \omega_{j} q_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\sum_{1}^{4} q_{k}^{2}\right)^{2}-\left(q_{1} q_{3}-q_{2} q_{4}\right)^{2}, \quad \text { (3.11.16) } \\
U\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{3} \omega_{j}\left(\delta_{j 2}+1\right) q_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{3}\left(\delta_{j 2}+1\right) q_{j}^{2}\right)^{2}- \\
-\left(q_{1} q_{3}-q_{2}^{2}\right)^{2}, \\
U\left(q_{1}, \ldots, q_{6}\right)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{6} \omega_{j} q_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{6} q_{j}^{2}\right)^{2}-\left(q_{3} q_{5}-q_{2} q_{6}-q_{1} q_{4}\right)^{2}, \\
U\left(q_{1}, \ldots, q_{4}\right)=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{4} \omega_{j} q_{j}^{2}+\frac{1}{2}\left(\Sigma q_{k}^{2}\right)^{2}-\left(q_{1} q_{3}+q_{2} q_{4}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Первые два потенциала отвечают симметрическому пространству $\mathrm{SU}(m+n) / \mathrm{SU}(m) \times \mathrm{SU}(n) \times U(1)$. Третий потенциал соответствует симметрическому пространству $\mathrm{Sp}(4) / \mathrm{U}(2)$. Четвертый потенциал отвечает симметрическому пространству $\mathrm{SO}(8) / \mathrm{U}(4)$ и, наконец, пятый потенциал отвечает симметрическому пространству $\mathrm{SO}(6) / \mathrm{SO}(4) \times \mathrm{SO}(2)$.

Можно показать, что все описанные системы являются вполне интегрируемыми. При этом система Гарнье, рассмотренная в предыдущем разделе, св язана с симметрическим пространством типа $\mathrm{SU}(n+1) / \mathrm{SU}(n) \mathrm{X}$ $\mathrm{X} \mathrm{U}(1)$. Следующей по сложности является система, связанная с пространством $\mathrm{SU}(n+2) / \mathrm{SU}(n) \times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$. Для этой системы матрица $L(\lambda)$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
q^{2}+\delta_{-1}-n(n+2) \lambda^{2} \rho \quad \ldots p_{k}-i(n+2) \lambda q_{k} \ldots \\
\rho \quad r^{2}+\delta_{0}-n(n+2) \lambda^{2} \ldots s_{k}-i(n+2) \lambda r_{k} \ldots \\
\vdots \\
p_{j}+i(n+2) \lambda q_{j} \quad s_{j}+i(n+2) \lambda r_{j} \quad-q_{j} q_{k}-r_{j} r_{k}+ \\
\vdots \quad \vdots \quad+\left[2(n+2) \lambda^{2}+\alpha_{j}\right] \delta_{j k} \\
\end{array}
\]

где $q_{k}$ и $r_{k}$ – координаты, $p_{k}$ и $s_{k}$ – сопряженные им импульсы. Если ввести обозначения
\[
q^{2}=\sum_{k=1}^{n} q_{k}^{2}, \quad r^{2}=\sum_{k=1}^{n} r_{k}^{2}, \quad \rho^{2}=\sum_{1}^{n} q_{k} r_{k},
\]

то гамильтониан принимает вид
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{4} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)_{\lambda=0}=\frac{1}{2} \sum_{1}^{n}\left(p_{k}^{2}+s_{k}^{2}\right)+\frac{1}{2} q^{4}+\frac{1}{2} r^{4}+\rho^{4}- \\
-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k}-\delta_{-1}\right) q_{k}^{2}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k}-\delta_{0}\right) r_{k}^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, мы имеем дело с гамильтоновой системой с $2 n$ степенями свободы. Для этой системы имеется $n$ интегралов движения, квадратично зависящих от импульсов :
\[
\begin{array}{l}
F_{j}=\sum_{k
eq j}^{\prime} \frac{1}{\alpha_{j}-\alpha_{k}}\left(q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}+r_{j} s_{k}-r_{k} s_{j}\right)^{2}+ \\
+p_{j}^{2}+s_{j}^{2}+q_{j}^{2} q^{2}+r_{j}^{2} r^{2}+2 q_{j} r_{j} \rho^{2}+\left(\delta_{-1}-\alpha_{j}\right) q_{j}^{2}+\left(\delta_{0}-\alpha_{j}\right) r_{j}^{2} .
\end{array}
\]

Однако кроме них имеется также $n$ интегралов движения четвертой степени по импульсам. Как можно показать [174], все эти интегралы фундаментально независимы и находятся в инволюции. Следовательно, рассматриваемая система является вполне интегрируемой.

Отметим еще работу [103], где дана орбитная интерпретация рассматриваемых систем.