ГЛАВА VI. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

§ 45. Закон всемирного тяготения

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Рис. 45.1.

Рис. 45.2.

Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис. 45.1).

В векторном виде силу, с которой вторая материальная точка притягивает к себе первую, можно записать следующим образом:

Симолом обозначен единичный вектор, имеющий направление от первой материальной точки ко второй (см. рис. 45.1). Заменив в формуле (45.2) вектор вектором получим силу действующую на вторую материальную точку.

Для определения силы взаимодействия протяженных тел их нужно разбить на элементарные массы каждую из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 45.2). Согласно (45.2) i-я элементарная масса тела 1 притягивается к элементарной массе тела 2 с силой

где расстояние между элементарными массами.

Просуммировав (45.3) по всем значениям индекса k, получим силу, действующую со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу :

Наконец, просуммировав (45.4) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:

Суммирование производится по всем значениям индексов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на а тело 2 — на элементарных масс, то сумма (45.5) будет содержать слагаемых.

Практически суммирование (45.5) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела однородны и имеют правильную форму, вычисления сильно упрощаются. В частности, в случае, когда взаимодействующие тела представляют собой однородные шары, вычисление согласно (45.5) приводит к формуле (45.2), в которой под следует понимать массы шаров, под — расстояние между их центрами и под единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго. Таким образом, шары взаимодействуют как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.

Если одно из тел представляет собой однородный шар очень большого радиуса (например земной шар), а второе тело можно рассматривать как материальную точку, то их взаимодействие описывается формулой (45.2), в которой под нужно понимать расстояние от центра шара до материальной точки (это утверждение будет доказано в следующем параграфе).

Размерность гравитационной постоянной в соответствии с (45.1) равна

Численное значение у было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка , т. е. порядка

Рис. 45.3.

Первой успешной попыткой определения V были измерения, осуществленные Кавендишем (1798 г.). Он применил для измерения сил весьма чувствительный метод крутильных весов (рис. 45.3). Два свинцовых шара (с массой 0,729 кг каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами и М. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение

Если в (45.1) подставить , равные единице, то сила оказывается численно равной . Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной .