§ 12. Принцип относительности Галилея

Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью V. Одну из этих систем, обозначенную на рис. 12.1 буквой К, будем условно считать неподвижной. Тогда вторая система К будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси х, у, z системы К и оси у, z системы К так,, чтобы, оси совпадали, а оси , а также z и z были параллельны друг другу.

Найдем связь между координатами у, z некоторой точки Р в системе К и координатами х, у, z той же точки в системе К. Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис. 12.1. . Кроме того, очевидно, что Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, т. е. что получим совокупность четырех уравнений:

называемых преобразованиями Галилея.

Первое и последнее из соотношений (12.1) оказываются справедливыми лишь при значениях малых по сравнению со скоростью света в пустоте, которую мы будем обозначать буквой . При сравнимых с , преобразования Галилея должны быть заменены более общими преобразованиями Лоренца (см. § 63). В рамках ньютоновской механики формулы (12.1) предполагаются точными.

Рис. 12.1.

Продифференцировав соотношения (12.1) по времени, найдем свяь между скоростями точки Р по отношению к системам отсчета К и :

Три скалярных соотношения (12.2) эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости v по отношению к системе К и вектором скорости v по отношению к системе

Чтобы убедиться в этом, достаточно спроектировать векторное равенство (12.3) на оси х, у, z. В результате получатся формулы (12.2).

Формулы (12.2) и (12.3) дают правило сложения скоростей в классической механике. Следует иметь в виду, что соотношение (12.3), как и любое другое векторное соотношение, остается справедливым при произвольном выборе взаимных, направлений координатных осей систем К и К. Соотношения же (12.2) выполняются только при выборе осей, показанном на рис. 12.1.

В § 7 отмечалось, что любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Теперь мы имеем возможность доказать это утверждение. Для этого продифференцируем по времени соотношение (12.3). Учтя, что V постоянна, получим:

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальна (это значит, что при отсутствии сил то и остальные будут инерцнальными (w также равно нулю).

Основное уравнение механики (9.2) характерно тем, что из кинематических величин оно. содержит только ускорение, скорость же в него не входит. Однако, как мы установили выше, ускорение какого-либо тела в двух произвольно выбранных инерциальных системах отсчета К и К одинаково. Отсюда согласно второму закону Ньютона вытекает что силы, действующие на тело в системах К и К, также будуг одинаковыми. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е., как говорят, инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны: ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими.

Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Находясь, напрнмер, в вагоне поезда, движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движется вагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами тел и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен.

Указанные обстоятельства были выяснены еще Галилеем. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, носит название принципа относительности Галилея.