§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую y = f(x), являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции f(x).

Определение 1. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз — вогнутой.

На рис. 115 показана кривая, выпуклая на интервале и вогнутая на интервале .

Рис. 115.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Настоящий параграф посвящен установлению признаков, по которым можно было бы, исследуя функцию y = f(x), судить о направлении выпуклости ее графика на различных интервалах.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е. , то кривая y = f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).

Доказательство. Возьмем в интервале произвольную точку и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале лежат ниже этой касательной, т. е. что ордината любой точки кривой y = f(x) меньше ординаты у касательной при одном и том же значении х.

Уравнение кривой имеет вид

Уравнение же касательной к кривой в точке имеет вид

или

Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении равна

Применяя теорему Лагранжа к разности получим

(где с лежит между , или

К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда

лежит между .

Рассмотрим сначала тот случай, когда . В этом случае так как и так как, кроме тогол по условию, то из равенства (3) следует, что

Рассмотрим теперь случай, когда . В этом случае а так как по условию то из равенства (3) следует, что .

Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения на интервале . А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана.

Аналогичным образом доказывается следующая теорема.

Теорема . Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т. е. то кривая на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).

Рис. 116.

Рис. 117.

Замечание. Содержание теорем 1 и можно иллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую обращенную выпуклостью вверх на интервале Производная равна тангенсу угла а наклона касательной в точке с абсциссой . Поэтому Если для всех на интервале то это значит, что убывает с возрастанием х. Геометрически нагляден тот факт, что если убывает с возрастанием то соответствующая кривая выпукла. Аналитическим доказательством этого факта и является теорема 1.

Подобным же образом иллюстрируется геометрически и теорема 1 (рис. 117).

Пример 1. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, заданной уравнением

Решение. Вторая производная для всех значений х. Следовательно, кривая всюду обращена выпуклостью вверх (рис. 118).

Пример 2. Кривая задана уравнением . Так как для всех значений то, следовательно, кривая всюду вогнута, т. е. обращена выпуклостью вниз (рис. 119).

Пример 3. Кривая определяется уравнением Так как , то при при Следовательно, при кривая обращена выпуклостью вверх, а при выпуклостью вниз (рис. 120).

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

На рис. 120, 121 и 122 точки О, А и В суть точки перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой

точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны — над нею.

Установим теперь достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением

Рис. 118.

Рис. 119.

Рис. 120.

Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.

Доказательство. 1) Пусть при при .

Тогда при кривая обращена выпуклостью вверх и при выпуклостью вниз. Следовательно, точка А кривой с абсциссой есть точка перегиба (рис. 121).

Рис. 121.

2) Если при при , то при кривая обращена выпуклостью вниз, а при выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсциссой есть точка перегиба (см. рис. 122).

Пример 4. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутой кривой (кривая Гаусса).

Решение. 1) Находим первую и вторую производные:

2) Первая и вторая производные существуют всюду. Находим значения при которых

3) Исследуем полученные значения:

вторая производная меняет знак при переходе через точку следовательно, при на кривой имеется точка перегиба; ее координаты:

при имеем при имеем

Следовательно, при на кривой также имеется точка перегиба: ее координаты: Впрочем, существование второй точки перегиба вытекает непосредственно из симметрии кривой относительно оси

Рис. 122.

4) Из предыдущего следует, что

5) Из выражения первой производной следует, что

В этой точке функция имеет максимум, а именно:

На основании проведенного исследования легко построить график кривой (рис. 123).

Пример 5. Найти точки перегиба кривой

Решение. 1) Находим вторую производную:

2) Определяем точки, в которых

3) Исследуем полученное значение

Следовательно, кривая не имеет точек перегиба (рис. 124).

Пример 6. Найти точки перегиба кривой

Решение. 1) Находим первую и вторую производные:

2) Вторая производная нигде не обращается в нуль при она не существует

Рис. 123.

Рис. 124.

Рис. 125.

3) Исследуем значение

Следовательно, при имеется точка перегиба; это — точка

Заметим, что при , т. е. кривая в этой точке имеет вертикальную касательную (рис. 125).