§ 4.17. Локальный экстремум функции

Определение локального экстремума было дано в начале § 4.12. Очевидно, ему можно придать и следующую форму.

Функция  достигает в точке  локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение  в точке  удовлетворяет неравенству

(соответственно  ).

По теореме Ферма (см. § 4.12), если функция  достигает в точке  локального экстремума и в этой точке производная  существует, то она равна нулю:

.

По определению точка  называется стационарной для функции , если в ней производная от существует и равна нулю .

Если задана на некотором интервале  функция , и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т. е. таких, в которых производная  существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где  не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения

,                                 (1)

которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции  есть точка локального экстремума .

Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция  имела в точке  локальный экстремум, но недостаточным. Например,  есть стационарная точка функции , но в ней эта функция возрастает.

Очевидно также, что не всякая точка, где  не имеет производной, есть точка локального экстремума .

Так или иначе, если нам уже известно, что  есть стационарная точка или точка, где производная от  не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого – максимума или минимума.

Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.

Т е о р е м а   1. Пусть  - стационарная точка функции  (т. е. ) и  имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда:

если , то  есть точка локального максимума ;

если же , то  есть точка локального минимума .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Разложим   по формуле Тейлора по степеням  при . Так как , то формула Тейлора функции  в окрестности точки имеет вид

.                (2)

В этой формуле может быть .

Пусть . Так как производная  по условию непрерывна в окрестности , то найдется  такое, что

.

Но тогда остаточный член в формуле (2)

,

что показывает, что

.

т. е.  имеет в  локальный максимум.

Аналогично, если , то  в некоторой окрестности  и . Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности  неотрицательный, а вместе с ним и , т. е.  имеет в  локальный минимум.

П р и м е р   1.  - стационарная точка;  для всех , следовательно, и в точке . Значит, в точке  - локальный минимум.

З а м е ч а н и е   1. Если

,                                     (3)

то функция  может иметь и не иметь экстремум в . Например, функции  и  удовлетворяют условиям (3) в точке , но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая – имеет, а именно, минимум.

Т е о р е м а   2. Пусть  и , и непрерывна в окрестности точки , тогда:

если  - четное и , то  имеет в  локальный максимум;

если  - четное и , то  имеет в  локальный минимум;

если  - нечетное и , то  заведомо не имеет в  локального экстремума.

Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем

.        (4)

В случае, если  - четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь  - нечетное, и пусть, как было предположено, . Вследствие непрерывности  в окрестности  существует интервал , на котором  сохраняет знак . Если  будет возрастать в окрестности  слева направо, то  при переходе через  переменит знак, а  будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно,  при переходе  через  меняет знак и экстремум в  невозможен.

Т е о р е м а   3. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и имеет производную  отдельно на интервалах  и . При этом

,                          (5)

.                          (6)

Тогда  есть точка локального максимума (минимума) функции .

Здесь не обязательно предполагается, что  существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из непрерывности  на отрезке  и свойства (5) следует (см. теорему 5 § 4.12), что  не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно,

.             (7)

А из непрерывности  на  и свойства (6) следует (см. ту же теорему 5 § 4.12)

.             (8)

Но тогда из (7) и (8) следует:

,

и мы доказали теорему 3.

Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции  при переходе через точку  меняет знак, то  имеет в точке  минимум (рис. 52), если знак меняется (при возрастании !) с  на , и максимум (рис. 53), если он меняется с  на . При этом не обязательно, чтобы существовала. Но требуется, чтобы  была непрерывна в точке  .

Рис. 52                                          Рис. 53

П р и м е р   2.    Мы видим, что  при ,  при ,  и,  кроме того,  непрерывна в точке , поэтому по теореме 3 функция  имеет локальный максимум в точке . Других локальных экстремумов функция не имеет.

П р и м е р   3. Функция , , непрерывна в точке  и имеет локальный максимум: , . Однако нельзя выделить окрестность точки  так, чтобы в ней  при  функция возрастала, а при  убывала.

В самом деле,

,

.

При малых  слагаемое  как угодно мало, поэтому знак производной  зависит от . При   принимает значения   сколько угодно раз. Значит, во всякой окрестности точки  функция колеблющаяся.

Т е о р е м а   4. Пусть функция  удовлетворяет условиям  и  . Тогда  в точке  имеет локальный минимум (максимум).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как

,

то на основании теоремы 2 § 3.2  в достаточно малой окрестности точки , т. е.  для  и  для . По теореме 3 заключаем, что в точке  локальный минимум. Случай  исследуется аналогично.

З а м е ч а н и е   1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что  непрерывна в окрестности точки . Требуется лишь существование .