2.5. Представление дискретизованных сигналов в комплексной плоскости
Для (преобразования Лапласа обычной дискретизованной экспоненты
полюсы находятся из условия
что эквивалентно
или
Эти результаты изображаются на плоскости 5 (фиг. 2.6) полюсом 
который соответствует непрерывному сигналу, и множеством дополнительных полюсов, расположенных 
одной линии через интервал 
Этот интервал соответствует частоте дискретизации 
заданной соотношением
Поскольку функция 
содержит бесконечное число полюсов, ее можно записать в общем виде с помощью суммы
где 
— полюсы, а коэффициенты 
являются вычетами в полюсах. В случае когда 
«представляется отношением полиномов
вычет в простом полюсе 
определяется выражением
Вычет (2.16)
Применяя это соотношение к 
получим
Отсюда вычет 
для всех 
Фиг. 2.6. Расположение полюсов для дискретизованной экспоненты.
Следовательно,
Для полного непрерывного сигнала
преобразование Лапласа записывается в виде
Фиг. 2. 7. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр непрерывного сигнала.
После приведения к общему знаменателю получим
где числитель дает нули 
показанные на фиг. 2.7.
Нули — это такие значения 
при которых сумма составляющих превращается в нуль. Отметим, что частотный спектр 
можно получить, вычисляя 
в виде суммы или произведения на мнимой оси в плоскости 5.
Если теперь дискретизовать сигнал 
то соответствующее ему преобразование Лапласа будет иметь вид
В плоскости 
каждая составляющая сигнала представляется множеством полюсов, расположенных на одной линии через интервалы 
Следовательно, полюсы 
расположены так же, как и полюсы 
но повторяются с интервалом 
(фиг. 2.8, а).
Фиг. 2.8. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр дискретизованного сигнала, а — расположение нулей и полюсов; 
— частотный спектр, получаемый на мнимой оси.
Каждый член суммы (2.22) можно представить в виде ряда, что дает
Таким образом, эффект дискретизации состоит в том, что конфигурация нулей и полюсов дискретизованного сигнала является суммой конфигураций нулей и полюсов исходного сигнала, повторяющихся в плоскости 
через интервалы 
Следовательно, частотный спектр, оцениваемый на мнимой оси, является суммоц исходных спектров 
расположенных через интервалы 
(фиг. 2.8, б). Когда повторяющиеся конфигурации нулей и полюсов складываются, полюсы оказываются в тех же точках, где они были в конфигурации исходного сигнала, а нули занимают другие положения: они оказываются в точках, в которых сумма повторяющихся конфигураций равна нулю.
