4.3. Билинейное преобразование

Кайзер и Гоулден и Кайзер [2] предлагают следующее соотношение между комплексными переменными

Здесь Т — период дискретизации.

Из соотношения (4.1) следует, что комплексную переменную заданной передаточной функции аналогового фильтра можно заменить функцией гиперболического тангенса от

Поскольку функция гиперболического тангенса монотонна, правильный порядок следования значений сохраняется, но вследствие периодичности соотношения ттлоскоть отображается на плоскость в виде последовательности параллельных полос,

как это показано на фиг. 4.1, а и б. Область с двойной штриховкой на фиг. 4.1, б, расположенная вблизи начала координат, называется областью главной полосы. (Этот термин, в частности, соответствует диапазону частот на мнимой оси в пределах этой области.)

Фиг. 4.1. Отображение при билинейном преобразовании.

Из соотношения (4.1) следует, что

т. е. вся ось монотонно отображается в совокупность областей вида

где — любое целое. Далее величину можно следующим образом выразить через комплексную переменную

Отсюда следует, что при замене в заданной действительной рациональной передаточной функции на выражение (4.3) получим действительную рациональную функцию от Амплитудная характеристика аналогового фильтра воспроизводится во всех частотных полосах Из рассмотрения главной полосы видно, что если заданная передаточная функция аналогового фильтра соответствует фильтру нижних

частот с частотой срезайс» то результирующая функция от соответствующая цифровому фильтру с частотой среза , будет такой, что

В результате частота среза аналогового фильтра изменяется, и это обычно рассматривается как деформация шкалы частот. Соотношение (4.4) между двумя частотами среза представлено графически на фиг. 4.2.

Фиг. 4.2. Билинейное преобразование действительных частот.

Из-за этой деформации для получения передаточной функции цифрового фильтра с требуемой частотой среза необходимо использовать передаточную функцию аналогового фильтра, имеющего специально подобранную частоту Однако мы располагаем таблицами нормализованных передаточных функций аналоговых фильтров, т. е. имеющих . Кайзер [1] и Кайзер и Гоулден [2] преодолевают эту трудность, используя преобразование нижних частот (т. е. заменяя нормализованную переменную на перед выполнением преобразования

Относительно билинейного преобразования (4.3) можно сделать два следующих замечания:

1) действительный постоянный множитель как отметили Рэйдер и Голд [3], можно опустить;

2) процесс двукратного преобразования (от нормализованного аналогового фильтра нижних частот к аналоговому фильтру нижних частот с частотой среза и затем билинейное преобразование) удваивает объем вычислений.

Рэйдер и Голд [3] учили, что константу можно опустить, и использовали преобразование в виде

для которого второе из сделанных выше замечаний также справедливо. Поскольку любой постоянный множитель не изменяет формы преобразования, можно использовать преобразование вида

где — действительная константа, определяемая из условия

где в свою очередь — частота среза аналогового фильтра, требуемая частота среза цифрового фильтра. В частности, при использовании таблицы нормализованных аналоговых фильтров нижних частот и

Следовательно, преобразование (4.6) принимает форму

а при

Таким образом, введя в преобразование константу общего вида мы избавились от необходимости выполнять его дважды.

Итак, преобразование (4.9) дает возможность рассчитать цифровой фильтр нижних частот с заданной частотой среза по данным аналогового фильтра нижних частот.

При синтезе цифрового фильтра верхних частот, полосового или режекторного фильтров Кайзер [1] и ряд других авторов [2—4] предлагают до выполнения билинейногопреобразования хорошо известными в аналоговой фильтрации методами преобразовать нормализованный аналоговый фильтр нижних частот. Эта методика потребует дополнительных вычислений, однако можно ввести новое преобразование, позволяющее рассчитывать цифровой фильтр непосредственно по передаточной функции аналогового фильтра нижних частот (по аналогии с рекомендацией Рэйдера и Голда [3] для случая синтеза цифровых полосовых фильтров). Рассмотрим синтез фильтра верхних частот, для которого можно

непосредственно воспользоваться уже полученным преобразованием (4.5). При замене аргумента передаточной функции данного аналогового фильтра нижних частот на получим передаточную функцию фильтра верхних частот. С точки зрения преобразования (4.5) это означает, что если аргумент 5 для аналогового фильтра нижних частот заменить на то получим выражение для передаточной функции цифрового фильтра верхних частот.

Итак, в общем случае преобразование аналогового фильтра нижних частот в цифровой фильтр верхний частот описывается формулой

где — действительная положительная константа, значение которой таково, что частоты среза аналогового фильтра нижних частот и цифрового фильтра верхних частот связаны соотношением

При этом преобразование принимает вид

Если аналоговый фильтр нижних частот нормализован, т. е. если то

В каждом из двух рассмотренных случаев преобразования имеют форму, исключающую необходимость:

1) предварительной деформации (эта операция включена в действительную константу

2) преобразования передаточной функции аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию аналогового фильтра верхних частот.

Таким образом, преимущества этого преобразования с точки зрения минимизации вычислений очевидны.

Преобразование Рэйдера и Голда является частным случаем рассматриваемых в следующем разделе обобщенных многополосных преобразований, соответствующим одной полосе пропускания в главной полосе. При пользовании этого преобразования в модифицированной форме операция предварительной деформации, предложенная Рэйдером и Голдом, становится ненужной.

Обобщенные преобразования и частные случаи синтеза цифровых полосовых и режекторных фильтров вместе с необходимыми расчетными формулами составляют содержание следующего раздела.