5.3. Синтез монотонных цифровых фильтров Баттерворта нижних частот

Простейшей нетривиальной формой [см. (5.7)] является

где а — действительный постоянный коэффициент. Эта функция монотонна и в полосе пропускания, и в полосе непропускания.

В этом случае амплитудная характеристика фильтра нижних частот описывается формулой

причем постоянная а, определяемая из условия получения на частоте среза сос ослабления в 3 дБ, равна

В результате квадрат амплитудной характеристики рассматриваемого фильтра принимает вид

Для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Итак, в диапазоне частот главной полосы амплитудная характеристика (5.11) монотонно уменьшается от единицы до нуля, напоминая в этом смысле характеристику аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.

Для того чтобы синтезировать цифровой фильтр нижних частот с рассматриваемой амплитудной характеристикой, необходимо найти положение его полюсов на плоскости . С этой целью введем вспомогательную переменную

где . Так как соответствует окружности то вспомогательная переменная при условии, что лежит на этой единичной окружности, принимает вид

т. е.

На плоскости полюсы функции будут совпадать с корнями уравнения

где , а — заданная частота среза. Отсюда

Следовательно, для четных

а для нечетных

Итак, для четных

а для нечетных нужно в этих формулах заменить на .

Параметрические уравнения (5.14) описывают окружность на плоскости радиусом с центром в начале координат. Рассмотрим, в какую кривую эта окружность отображается на плоскости с помощью преобразования (5.12).

Пусть

и

так что

и, следовательно,

Но для отображаемой окружности

Следовательно,

откуда соотношение между х и у принимает следующий вид:

Оно также описывает окружность радиуса

с центром С, имеющим координаты

Поскольку

радиус окружности и координаты ее центра оказываются равным

Используя формулы (5.14) и (5.15), определяем искомые положения полюсов фильтра Баттерворта нижних частот:

Эти выражения справедливы для четных при нечетных в них следует заменить на и учесть, что принимает значения .

Таким образом, синтез проводится в следующей последовательности:

1) По заданным характеристикам рассчитывается порядок фильтра

2) Находится положение полюсов на плоскости и выбираются те из них, которые лежат вне единичного круга.

3) Из равенства (5.8) следует, что точка является нулем порядка. С помощью этого нуля и найденных на предыдущем этапе полюсов формируется искомая передаточная функция.

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Рассчитать цифровой фильтр нижних частот с максимально гладкой амплитудной характеристикой, имеющей частоту среза Переходное отношение должно быть равно 0,9, ослабление на переходной частоте лучше 60 дБ. Частота дискретизации равна 18 кГц.

Расчет порядка фильтра .

По переходному отношению и частоте среза вычисляем переходную частоту

откуда . Далее,

и

Следовательно, для переходной частоты получаем

откуда

Берем ближайшее целое

Равенство означает, что тполюсы в плоскости лежат на единичной окружности и в соответствии с (5.14) их координаты равны

Они имеют следующие числовые значения:

В плоскости полюсы будут располагаться на мнимой оси и иметь координаты

Расположение полюсов в плоскости показано на фиг. 5.2. Сразу же отметим, что четыре из них лежат внутри круга единичного радиуса, а остальные четыре — вне его.

Фиг. 5.2. Расположение полюсов фильтра Баттерворта с

Таким образом, устойчивость цифрового фильтра обеспечивается следующими полюсами:

Каждая пара этих полюсов образует квадратный трехчлен с нулевым коэффициентом при Поэтому трехчлен от соответствующий паре полюсов в плоскости будет равен

а для другой пары полюсов в этой же плоскости

Необходимо также учесть, что фильтр порядка должен иметь нуль порядка в точке Итак, искомая передаточная функция равна

где К — константа нормализации.

Нормализуя на нулевой частоте (для нее получаем

откуда

Амплитудная характеристика рассчитанного фильтра изображена на фиг. 5.3.

Фиг. 5.3. Амплитудная характеристика фильтра Баттерворта с

Аналогично можно синтезировать цифровые фильтры Чебышева и эллиптические (фильтры Кауэра) [1—3].