6.9. Проектирование нерекурсивных фильтров методом частотной выборки

Метод частотной выборки формулируется полностью в частотной области и поэтому весьма удобен для проектирования фильтров на основе их частотного представления. Частотная характеристика Лкаскадного нерекурсивного фильтра задается выражением

Пусть эта характеристика дискретизируется по частоте с интервалом Гц. Если обозначить отсчеты частотной характеристики через , то

Это соотношение, связывающее импульсную характеристику с частотными отсчетами, является дискретным преобразованием Фурье. Импульсная характеристика может быть получена обратным дискретным преобразованием Фурье действительной и мнимой частей частотных выборок (т. е. их амплитуд и фаз):

Расчет импульсной характеристики может быть произведен с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (Теория и применения дискретного преобразования Фурье и БПФ подробно обсуждаются в гл. 7.) Если нужно найти N действительных коэффициентов импульсной характеристики, - как записано выше, то для этого, исходя из соображений симметрии спектра, достаточно взять комплексных, независимых отсчетов частотной характеристики с интервалом Гц вплоть до частоты наложения Гц. Это позволяет однозначно задать импульсную характеристику нерекурсивного фильтра, а его частотная характеристика будет в точности равна заданным отсчетам в точках.

Пример 4. Нерекурсивный фильтр имеет 30 отводов и частоту синхронизации 3 кГц. Необходимо получить частотную характеристику фильтра нижних частот с частотой среза 700 Гц.

При 30 отводах можно выбрать 15 точек частотной характеристики с интервалом Гц, не доходя 100 Гц до частоты наложения

Фиг. 6.10, Частотная характеристика фильтра иижних частот, заданная 15 отсчетами.

Поскольку частота среза фильтра нижних частот должна быть 700 Гц, идеальная прямоугольная характеристика дискретизуется так, что все отсчеты вплоть до частоты 700 Гц имеют одинаковую величину, а все другие равны нулю (фиг. 6.10). Если с помощью обратного ДПФ этих отсчетов рассчитать соответствующие значения 30 весовых коэффициентов, то частотная характеристика полученного фильтра будет иметь вид, доказанный на фиг. 6.10. Эта характеристика проходит через 15 заданных точек и имеет, как и требовалось, срез на частоте 700 Гц.

Хотя частотная характеристика фильтра, подобного рассмотренному выше, принимает заданные значения в точках отсчетов, нежду ними она может недопустимо отклоняться от идеальной

характеристики. Например, уровень боковых лепестков характеристики фильтра нижних частот на фиг. 6.10 может быть неприемлемым. Если достаточно взять меньше чем N «фиксированных» отсчетов частотной характеристики, то оставшиеся свободные отсчеты можно варьировать с целью поиска минимума какого-либо параметра фильтра.

Фиг. 6.11. Фильтр нижних частот с импульсной характеристикой конечной длительности, N = 128 (2].

Эти свободные отсчеты берут обычно в переходных полосах и варьируют так, чтобы получить минимум боковых лепестков в полосе непропускания. Наличие отсчетов в переходной полосе приводит, естественно, к ее расширению. Этнм приходится расплачиваться за уменьшение боковых лепестков. Рэбинер и др. [2] использовали эффективный алгоритм минимизации для вычисления значений отсчетов в переходной полосе рйда фильтров нижних частот и полосовых фильтров; в результате были получены частотные характеристики типа показанной на фиг. 6.11.