Глава 5. ПРЯМОЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

А. Константинидис

5.1. Введение

Как и при синтезе аналоговых фильтров, задачу прямого ешь теза цифровых фильтров можно разделить на два этапа:

1) прямой синтез цифровых фильтров нижних частот;

Фиг. 5.1. Характеристика идеального фильтра нижних частот.

2) прямой синтез цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров по передаточным функциям фильтров нижних частот.

Это разделение значительно упрощает задачу синтеза, так как, если передаточные функции фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров можно получить из передаточных функций фильтров нижних частот, достаточно разработать методику синтеза фильтров нижних частот.

Идеальная амплитудная характеристика цифрового фильтра нижних частот имеет прямоугольную форму (фиг. 5.1). Однако квадрат амплитудной характеристики физически осуществимого фильтра, как будет показано ниже, является действительной рациональной функцией от

Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению некоторой функции, аппроксимирующей идеальную амплитудную характеристику в заданном смысле. Такой подход к синтезу является прямым, поскольку, начиная с определения идеальной

амплитудной характеристики, используемые данные имеют отношение только к цифровым фильтрам.

В зависимости от способа аппроксимации этой идеальной характеристики искомые передаточные функции классифицируются следующим образом:

1) максимально гладкая, или аппроксимация Баттерворта;

2) чебышевская аппроксимация [2];

3) эллиптического типа [3];

4) обобщенная полиномиальная аппроксимация [5];

5) параметрического типа [6].

В настоящем разделе будут рассмотрены фильтры нижних частот, принадлежащие к 1-й группе, и предложены методы их синтеза.

Первый шаг к прямому синтезу цифрового фильтра состоит в том, чтобы показать возможность построения передаточной функции по заданной амплитудной характеристике фильтра.

Рассмотрим общий вид квадрата амплитудной характеристики цифрового фильтра.

Амплитудная характеристика. Передаточная функция цифрового фильтра, как было показано в гл. 3 [уравнение (3.4)], равна

При она принимает вид

Рассмотрим выражение

Отсюда

и

так что

и, следовательно,

Учитывая рекуррентность соотношения (5.3), а также начальные условия приходи выводу, что является действительным полиномом от

Рассмотрим также

Тогда

Поэтому

и так как — полином от то должно иметь вид (полином

С учетом этих результатов вернемся к выражению (5.2). Видно, что действительные части числителя и знаменателя являются суммами косинусов углов, кратных , следовательно, могут быть представлены в виде полиномов от . Мнимые части равны суммам синусов углов, кратных и поэтому они будут иметь одинаковый коэффициент , который умножается на полиномы от . В результате выражение (5.2) можно переписать следующим образом:

так что квадрат амплитудной характеристики имеет вид

Подставив

получим

где — действительные постоянные коэффициенты. Таким образом, квадрат амплитудной характеристики цифрового фильтра

может быть выражен через действительную рациональную функцию от

Выражение (5.4) всегда можно записать следующим образом:

где — действительная константа, а (-действительная рациональная функция от Эта форма записи особенно удобна для описания характеристик фильтра.

Ниже мы будем рассматривать только фильтры нижних частот, предполагая, что фильтры верхних частот, полосовые и режекторные фильтры можно получить из низкочастотного фильтра-прототипа.

Итак, числитель и знаменатель обязательно имеют степень так что числитель и знаменатель являются функциями от одного и того же порядка, совпадающего с порядком передаточной функции фильтра.