2.10. Разностные уравнения, z-преобразования и передаточные функции

Непрерывные временные функции могут рассматриваться как решения дифференциальных уравнений, которым можно сопоставить аналоговые вычислительные (блок-схемы. По аналогии импульсную последовательность можно рассматривать как решение соответствующего разностного уравнения, которому также можно сопоставить блок-схему.

При решении дифференциальных уравнений существенной операцией является интегрирование, описываемое в плоскости оператором В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором или Анализ дифференциальных уравнений в плоскости приводит к понятию передаточных функций и представлению временных функций в плоскости с помощью преобразований Лапласа. Аналогично анализ разностных уравнений в плоскости приводит к понятию передаточных функций с аргументом -преобразованиям.

Система, показанная на фиг. 2.17, а, включает элемент задержки и цепь положительной обратной связи с коэффициентом Она имеет два выхода и вход а. Импульсы могут свободно циркулировать в системе с временем задержки Если при импульс на выходе равен то импульс до задержки равен , поскольку он приходит на выходу в момент Сигнал, который попадает на вход по цепи обратной связи, равен , следовательно, разностное уравнение может быть записано в виде

Если на вход и подать единичный импульс в момент , он появится на выходе в момент и на выходе в момент. в результате чего на выходе будет сигнал Далее импульс будет циркулировать по петле обратной связи, изменяясь при каждом обороте в раз. На выходах обраауются импульсные

пульсные последовательности, показанные на фиг. 2.17, а. Эти последовательности в плоскости z могут быть представлены в виде

Фиг. 5.17. Система с обратной связью в области z. а — импульсная характеристика системы; — влияние перемены знака обратной связи.

Исходное разностное уравнение в области может быть записано следующим образом:

или

Эти уравнения позволяют получить соотношения, связывающие вход и выход системы (передаточные функции):

В обоих случаях передаточные функции имеют одинаковый знаменатель с полюсом вточке который соответствует дискретизоваиной затухающей экспоненте. Таким образом, - преобразование импульсной характеристик представляет собой передаточную

функцию. Следовательно, в области z наблюдается такое же соотношение между импульсной характеристикой и передаточной функцией, как и в области . В обеих областях системы имеют свой характерный отклик на единичный импульс либо на любой другой входной сигнал.

Следует заметить, что изменение знака в цепи обратной связи, как показано на фиг. 2.17, б, не приводит к неустойчивости системы, а лишь сдвигает полюс в точку в результате чего импульсная характеристика имеет вид затухающих колебаний.

Фиг. 2.18. Отклик системы на обобщенный входной сигнал.

Устойчивость системы определяется при полюс расположен вне круга единичного радиуса и система является неустойчивой.

Если на вход подается сигнал общего вида

каждому его члену соответствует свой отклик, так что если импульсная характеристика системы задана выражением (фиг. 2.18)

то на выходе получим

что можно представить в виде произведения -преобразований входной последовательности и импульсной характеристики, т. е.

или

Таким образом, -преобразование импульсной характеристики является передаточной функцией системы. Итак, окончательный результат можно получить, перемножая непосредственно -преобразования и передаточные функции. При этом следует соблюдать осторожность при переходе из области непрерывных сигналов, поскольку методы -преобразования основаны на использовании не непрерывных, а только импульсных сигналов.

Фиг. 2.19. Аналоговые и дискретные системы. а - аналоговая система; б — соответствующая дискретная система.

В качестве примера на фиг. 2.19, а показан непрерывный отклик аналоговой -цепи на единичный скачок. Преобразование Лапласа отклика равно произведению преобразований скачка и импульсной характеристики:

Однако ошибочным будет выражение для -преобразования, полученное на основании в виде

Чтобы получить корректное -преобразование, необходимо передаточную функцию из -области преобразовать во временную область, а затем каждый ее член выразить через -преобразование. Следовательно, используя

получим

На фиг. 2.19, б показана блок-схема этой системы.

Упражнения на z-преобразования

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)