1.3. Время и частота

Цифровые фильтры, так же как и аналоговые, обычно описывают во временной либо в частотной области. Во временной области задается импульсная характеристика в виде последовательности чисел (обычно конечной). Эти числа могут быть использованы

непосредственно с помощью свертки (поскольку система подчиняется принципу суперпозиции), так что

либо после их предварительного преобразования. Описание в частотной области (амплитуд и фаз) — по-видимому, наиболее общий вид описания фильтров, как аналоговых, так и цифровых. В случае цифровых фильтров дискретное преобразование Фурье (ДПФ) позволяет непосредственно находить частотную характеристику, а алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) нередко делают методы преобразования в частотную область предпочтительными. Поэтому часто, когда заданы временные характеристики, целесообразно переходить в частотную область и использовать преобразования Фурье:

При теоретических исследованиях бывает полезно описывать передаточную функцию ее полюсами и нулями — частотами (обычно комплексными), при которых передаточная функция становится равной бесконечности или нулю. Пример такого представления показан на фиг. 1.4 для аналогового, максимально плоского, т. е. баттервортовского, фильтра (4-го порядка). Все физически реализуемые

Фиг. 1.4. Расположение полюсов максимально плоского аналогового фильтра. а — фильтр нижних частот; б — полосовой фильтр.

линейные системы описываются подобным образом. Если принять, что определенное расположение полюсов и йулёй обеспечивает приемлемую характеристику, то задача сводится к синтезу системы с заданным расположением полюсов и нулей.

Фиг. 1.5. Периодичность по частоте. а — повторение полюсов и нулей; б — частотная характеристика.

Одно из существенных различий между аналоговыми и цифровыми системами состоит в том, что последние имеют периодическую по частоте конфигурацию полюсов и нулей (фиг. 1.5). Повторяемость с интервалом Гц (Т период дискретизации) является результатом принципиально, дискретного представления сигналов. Удобно представить эту циклическую структуру, отображая -плоскость с помощью преобразования

Фиг. 1.6. Отображение плоскости s в плоскость z.

при котором ось отображается, в окружность единичного радиуса и каждый оборот по окружности соответствует одному периоду на оси о (фиг. 1.6). Оказывается, что является переменной, которая имеет такое же значение для цифровых фильтров, как для аналоговых систем, а z-преобразование соответствует преобразованию Лапласа.