10.3. Анализ арифметических устройств

В цифровых фильтрах операции над числами выполняются с помощью арифметического устройства с фиксированной или плавающей запятой. Ошибки, возникающие при работе таких фильтров, неодинаковы. Фильтры с фиксированной запятой легче анализировать, но им присущи недостатки двоичной арифметики с фиксированной запятой и более жесткие ограничения по динамическому диапазону [4].

10.3.1. Арифметическое устройство с фиксированной запятой

В арифметическом устройстве с фиксированной запятой значение «переменной или коэффициента (меньше единицы) (представляется в двоичном виде следующим образом:

где или 1, и при реализации фильтра квантуется до величины

Здесь при округлении к разряду добавляется 1 или 0 в зависимости от того, 1 или 0 содержится в разряде. При усечении разряды, следующие за старшими разрядами, просто асываются.

Обозначим ошибку квантования через

при округлении она меняется в пределах от до , т. е.

а при усечении — в диапазоне от до 0, так что

При перемножении двух двоичных чисел или слов конечной длины и V длина результирующего слова обычно больше длины

каждого из сомножителей. Если при реализации фильтра длина слова должна быть постоянной, избыточные биты (со стороны младших разрядов) обычно отбрасываются. Эта операция приводит к ошибке, которая аналогична ошибке, получаемой при работе, квантователя с равномерным шагом. Сложение двух двоичных чисел конечной длины вообще не приводит к погрешности, за исключением случая, когда имеет место переполнение.

Для изучения проблемы точности цифровых фильтров, связанной с ошибками квантования, необходимо иметь некоторые сведения о свойствах этих ошибок. Большинство специалистов, работающих в этой области, пришли к заключению, что получение теоретических результатов, которые, как травило, хорошо согласуются с экспериментальными данными, облегчается при введении следующих трех предположений [1—8]:

1) ошибки квантования можно рассматривать как случайные величины;

2) ошибки взаимно независимы и не зависят от ;

3) плотность распределения вероятностей ошибок округления равномерно распределена на интервале от до

10.3.2. Арифметическое устройство с плавающей запятой

В арифметическом устройстве с фиксированной запятой ошибки находятся в фиксированном диапазоне, тогда как в случае плавающей запятой они пропорциональны величинам сигналов [3, 6, 9]. Обычно числа с плавающей запятой представляются так, как показано на фиг. 10.2.

Фиг. 10.2.

Цифровое выражение числа таково

где порядок а — целое число, (равное или превышающее а мантисса равна частному от деления величины числа на степень двойки, равную порядку, т. е.

Мантисса всегда «квантована и принимает значения между 1 и . Переполнения могут происходить в порядке (который и определяет динамический диапазон фильтра).

При выполнении арифметических операций с плавающей запятой и сумма, и произведение двух чисел с конечной разрядностью подлежат квантованию. Поскольку это квантование приводит к появлению ошибок в системе, сумма и произведение двух чисел записываются следующим образом:

где и у рассматриваются как случайные числа, являющиеся следствием округления или усечения, которые меняются в следующих пределах:

В настоящей главе проведен анализ проблемы точности цифровых фильтров только для случая выполнения арифметических операций с фиксированной запятой. Следующий раздел посвящен детальному рассмотрению ошибок, возникающих в различных частях фильтра.