10.4.2. Квантование коэффициентов фильтра по конечному числу разрядов

Выходная последовательность идеального цифрового фильтра описывается разностным уравнением

При квантовании коэффициентов a и b она изменяется. Эффект квантования состоит в замене идеальных коэффициентов на слова конечной длины. Возникающие при этом ошибки аналогичны встречающимся при проектировании аналоговых фильтров, когда требуемое значение индуктивности равно, скажем, но после намотки катушки измеренное значение индуктивности может оказаться равным

Квантование коэффициентов изменяет исходное положение нулей и полюсов синтезируемого фильтра на плоскости , как следствие, приводит к изменению его амплитудной и фазовой характеристик. При определенных условиях эта погрешность может нарушить устойчивость фильтра.

С учетом квантования последовательность на выходе цифрового фильтра можно выразить следующим образом:

где

и

При выполнении арифметических операций с фиксированной занятой меняются в пределах [6, 9].

Передаточная функция такого «квантованного» фильтра равна

Проиллюстрируем на примере системы 2-го порядка характер изменения положения нулей и полюсов при изменении коэффициентов.

Пример 2. Рассмотрим разностное уравнение 2-го порядка

Емусоответствует передаточная функция

полюсы которой размещаются в точках

а нули — в точках

Изменение коэффициентов приведет к другим значениям , как следствие, кименению амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик фильтра. В некоторых случаях полюсы, первоначально расположенные в устойчивой области достаточно близко к единичной окружности на плоскости могут сместиться в область неустойчивости. В связи с этим необходимо найти такие формы построения фильтров, для которых изменение коэффициентов приводит лишь к незначительному смещению полюсов. В приводимом ниже примере показано, что различные формы имеют неодинаковую чувствительность к изменению коэффициентов.

Пример 3. Рассмотрим систему порядка, расположение полюсов которой в плоскости показано на фиг. 10.6.

Фиг. 10.6.

Полюсы находятся в точках Передаточную функцию системы с этими полюсами можно записать в одной из следующих форм:

Рассмотрим различные формы реализации этих передаточных функций.

1) Каскадная (последовательная) форма. Она представлена на фиг. 10.7, причем

Фиг. 10.7. Каскадная (последовательная) форма цифрового фильтра.

2) Прямая форма. Она представ на фиг. 10.8, где

Фиг. 10.8. Прямая форма цифрового фильтра.

Найдем из формул (10.29) — (10.34) следующие частные производные:

Видно, что

Отсюда следует, что в большинстве практических случаев изменение приводит к большему смещению полюсов чем изменение Это означает, чтой рассмотренном примере прямая форма построения, по-видимому, более чувствительна к эффектам квантования коэффициентов. Общую связь между смещением полюсов и изменением коэффициентов можно получить из формулы Кайзера [15]

(Вывод этойформулы приведен в приложении Здесь изменение коэффициента положения полюсов идеального фильтра. Используя это соотношение, Кайзер доказал, что чувствительность смещения полюсов к коэффициентам увеличивается с ростом порядка фильтра при прямой форме его реализации. Таким образом, он пришел к выводу, что реализация фильтра выше 2-го порядка в прямой форме нежелательна. В этом случае предпочтительнее параллельная или каскадная форма.