7.3. Анализ непрерывных систем

Как было показано, ДПФ предназначено для анализа и обработки дискретных периодических сигналов. Хотелось бы использовать ДПФ непосредственно для численного анализа дискретизованных непрерывных сигналов. На первый взгляд это можно сделать, используя ДПФ или ОДПФ как дискретизованные варианты прямого и обратного преобразований Фурье:

К сожалению, по ряду причин, которые будут кратко рассмотрены, для многих сигналов не существует точного соответствия между преобразованием Фурье и ДПФ. Поэтому имеет смысл найти общий рациональный подход к анализу непрерывных сигналов.

Если непрерывный сигнал является апериодическим с неограниченным спектром, можно установить класс сигналов, к которому он относится. Это может быть: а) класс сигналов, принимающих нулевые значения вне некоторых пределов во временной области;

б) класс сигналов, равных нулю вне некоторых пределов в частотной области. Отметим, что эти свойства сигналов являются взаимоисключающими. Они либо оба отсутствуют, либо присутствуют по отдельности, но никогда не присутствуют вместе.

Если сигнал ограничен во времени некоторыми пределами, то его спектр не может быть ограниченным по полосе. Если спектр низкочастотный, то можно ожидать, что сигнал может быть дискретизован с такой достаточно высокой частотой чтобы полученное колебание имело спектр , в разумных пределах соответствующий в полосе

Это иллюстрируется на фиг. 7.5. Ясно, что частоту дискретизации нужно выбирать таким образом, чтобы отношение

было достаточно малым с точки зрения допустимого искажения спектра

Несмотря на то что общего правила выбора частоты дискретизации для ограниченной по полосе функции получить нельзя, можно руководствоваться следующими соображениями. Пусть колебание

Фиг. 7.5. Наложение спектров, вызванное дискретизацией колебания с неограниченной полосой частот.

Фиг. 7.6. Низкочастотный спектр порядка.

Фиг. 7.7. Соотношеиие между степенью наложения спектров сигнала с неограниченной полосой и частотой дискретизации.

имеет спектр низкочастотного вида, асимптотически спадающий от номинальной частоты среза (которую для удобства определим точку пересечения асимлтоты с осью частот) на дБ на декаду. Такой спектр, который назовем спектром порядка, показан на фиг. 7.6. Кривые, приведенные на фиг. 7.7, показывают зависимость отношения (7.15) от нормированной по частоте среза частоты дискретизации для этого спектра и позволяют выбрать

Ко второму классу относятся сигналы ограниченные по полосе:

В этом случае колебание должно быть бесконечной длительности. Кроме того, предполагается, что — апериодическая функция. Это может быть, например, шумовое колебание, прошедшее через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной характеристикой. На фиг. 7.8 показано, как из колебания выделяется отрезок длительностью Г, содержащий отсчетов. Вычисление ДПФ этих отсчетов предполагает периодическое повторение отрезка колебания Если недостаточно велико, то разрывы на концах отрезка могут привести к тому, что ДПФ полученной, последовательности будет существенно отличаться от преобразования Фурье функции . Это заставляет учитывать две особенности применения ДПФ.. Во-первых, если речь идет о фильтрации (т. е. о вычислении , взвешивании составляющих спектра по определенному

Фиг. 7.8. Разрывы, вызванные усечением колебания.

закону и обратном преобразовании во временную область с помощью ОДПФ), то основное внимание должно уделяться выбору такого при котором имеет смысл проводить весовую обработку и адекватное обратное преобразование. Во-вторых, если нужно найти сглаженный энергетический спектр, то также должно быть велико, но кроме того, иногда может возникнуть необходимость предварительно сгладить разрывы на концах отрезка весовой обработкой отсчетов.