2.9. Обратное z-преобразование

Существует три метода обратного -преобразования для получения соответствующих временных функций:

1) разложение на простые дроби;

2) деление;

3) контурное интегрирование.

1) Разложение на простые дроби. Если можно разложить на простые дроби, соответствующие преобразованиям обобщенной экспоненты, то временная функция может быть записана непосредственно. Так, если

то

Например (фиг. 2.15, а), если

то

или в экспоненциальной форме

Эта функция соответствует дискретизованному отклику на единичный скачок с такой постоянной времени, которая приводит к изменению величины отсчетов на 50% в течение каждого интервала дискретизации Т (фиг. 2.15, а).

Фиг. 2.15. Обратное -преобразование. а — дискретизованная переходная характеристика, — дискретизованная косинусоида,

2) Деление. В методе разложения на простые дроби предполагается, что легко факторизуется, что не всегда возможно, особенно если является отношением полиномов высоких степеней. В последнем случае делением полином можно представить в вид обобщенного ряда, и тогда может быть также записана непосредственно в виде ряда

Для физически осуществимых сигналов степень может быть только отрицательной или равной нулю и, следовательно, необходимо выполнение условия , т. е. число нулей не должно превышать число полюсов. Разность показывает число интервалов дискретизации, необходимых для вычисления выборки. Пусть, например (фиг. 2.15, б),

Тогда

откуда делением можно получить

Следовательно,

3) Контурное интегрирование. Как отмечено в предыдущем случае, делением можно разложить в ряд по отрицательным степеням

где коэффициенты равны значениям а ряд является суммой полюсов всех порядков на плоскости z при Для определения произвольного коэффициента следует умножить обе части (2.51) на что дает

а затем взять интеграл по контуру, охватывающему все полюсы:

Поскольку

в правой части (2.53) остается единственный член Итак,

Отсюда интегрированием по контуру при соответствующих значениях можно получать значение Такое интегрирование, обычно выполняемое по методу вычетов, дает

Для функции общего вида

где — нули и — простые полюсы, вычет в полюсе равен

Фактически является значением остатка функции при когда полюс в точке изъят.

Член в формуле (2.55) для определения соответствует введению дополнительного полюса в начале координат в результате чего с возрастанием растет порядок у нулей (фиг. 2.16, а). Вычеты в полюсах функции могут быть получены расчетом либо непосредственным измерением на плоскости, причем из-за возрастания порядка нуля в начале координат вычеты умножают на Последнее гпозволяет ввести понятие временных конфигураций, полезное для иллюстрации многих

Фиг. 2.16. Временные конфигурации и вычеты. а - представление ; б - примеры временных конфигураций; в — представление вычетов, фазорами. (см. скан)

качественных результатов. Поскольку вычет в полюсе умножается на т. е. на положение полюса для каждого интервала Г, то любому полюсу вне круга единичного радиуса соответствует возрастающая (неустойчивая) составляющая, а любому полюсу внутри такого круга соответствует устойчивый затухающий сигнал. Несколько примеров приведено на фиг. 2.16, б.

Вычет может быть представлен графически в виде фазора (вектора), исходящего из местоположения полюса на плоскости, причем его угол после каждого интервала Т изменяется на величину аргумента из-за наличия дополнительного нуля в начале координат. Результирующая величина равна сумме фазоров всех вычетов. При этом учитываются только действительные составляющие, поскольку мнимые исчезают. Несколько примеров приведено на фиг. 2.16, б.