4.4. Обобщенные преобразования аналогового фильтра нижних частот в многополосный фильтр
Пусть
и
где 
— период дискретизации. Отсюда следует, что преобразование
где 
— действительная положительная постоянная, преобразует передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию многополосного полосового цифрового фильтра с числом полос пропускания, равным 
Так, для одной полосы пропускания в главной полосе получается преобразование вида
где
Преобразование (4.12) было получено Рэйдером и Голдом [3], но оно не содержало действительной постоянной 
и поэтому его применение требовало предварительной деформации. Включение в формулу константы 
как показало ниже, позволяет избежать этой операции. §
Пусть аналоговый фильтр нижних частот имеет частоту среза 
, а заданные верхняя и нижняя частоты среза полосового цифрового фильтра будут 
соответственно. Тогда, если 
, т. е. при условии, что 
меняется вдоль окружности единичного радиуса [5, 6], имеем
так что точка 
соответствует точке
т. е. 
является центральной частотой полосы.
Далее,
откуда после упрощений получаем
и
Таким образом, по заданным верхней и нижней частотам среза полосового цифрового фильтра можно найти частоту среза аналогового фильтра нижних частот и постоянную 
удовлетворяющую уравнению (4.16). Поэтому нет необходимости предварительно деформировать передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот.
Теперь, возвращаясь к преобразованию (4.11), можно сделать следующее заключение. Если не 
, а 
заменить на правую часть выражения (4.11), то получится многополосное режекторное преобразование. Это может быть сформулировано следующим образом. Преобразование
где к — действительная положительная постоянная и
преобразует передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию многополосного режекторного цифрового фильтра с 
полосами режекции. Для случая одной полосы режекции приведенное преобразование принимает вид
где
Если 
находится на окружности единичного радиуса, то
Центр полосы режекции совпадает с частотой 
, т. е. рассчитывается по формуле
Пусть верхняя и нижняя частоты среза режекторного цифрового фильтра равны 
- частота среза аналогового фильтра нижних частот. Тогда должны выполняться следующие соотношения:
Отсюда получаем формулу
которая совпадает с выражением (4.15), а также формулу
Замечания, сделанные для случая полосового фильтра, в равной степени применимы и здесь. Так, нет необходимости в предварительной деформации, поскольку уравнение (4.21) имеет две степени свободы.
