10.4. Эффекты квантования

10.4.1. Квантование входного сигнала

Аналоговый сигнал подлежащий обработке в цифровом фильтре, должен быть предварительно преобразован по амплитуде и времени в цифровую форму. В процессе дискретизации каждой выборки сигнала по амплитуде используется квантование по уровням с шагом приводящее, как правило, к появлению ошибки в системе. При анализе она рассматривается лак аддитивный шум, поданный на вход фильтра. Таким образом, предполагается, что входной сигнал создается двумя различными источниками и содержит следующие компоненты: 1) входной сигнал без шума аддитивный шум

Относительно этого шума можно сделать следующие предположения:

1) ошибка каждой выборки равномерно распределена в диапазоне от до при округлении и от до 0 при усечении:

2) ошибки различных выборок статистически независимы. Эти предположения означают, что аддитивный шум — белый, с нулевым средним и дисперсией равной Используя теорию шумов линейных систем, можно рассчитать дисперсию (среднюю мощность) выходной шумовой последовательности.

Рис. 10.3

Рассмотрим линейную систему с передаточной функцией изображенную на фиг. 10.3. Выходная шумовая последовательность вычисляется с помощью свертки импульсной характеристики

которую можно рассматривать как взвешенную сумму случайных величин с автокорреляционной функцией, определяемой выражением

которое после суммирования по принимает вид

Дисперсию (среднее значение выходной мощности шума) можно рассчитать, положив в

Обозначив здесь через или (см. приложение 10.Б), получим

При бесконечной импульсной характеристике выходную дисперсию проще вычислять в плоскости z с помощью вычетов, рассчитывая, согласно дискретной теореме Парсеваля, значение контурного интеграла:

(см. приложение 10В). Применение этой формулы иллюстрируется в примере 1.

Фиг. 10.4. Цифровой фильтр 1-го порядка с импульсной характеристикой

Пример 1. Рассмотрим систему 1-го порядка, изображенную на фиг. 10.4, которая описывается следующим разностным уравнением:

Здесь Импульсная характеристика этого фильтра определяется выражением

Подстановка этого выражения в (10.10) дает

Перейдем теперь к анализу в области z. Так как

то

Подставив (10.17) в (10.11), получим

Значение вычисляется с помощью вычетов в особых точках внутри контура интегрирования (в круге единичного радиуса). Особыми точками (полюсами) подынтегральной функции на плоскости являются точки При внутри контура интегрирования размещается лишь один полюс Вычет в этой точке равен поэтому

т. е. мы получили такой же результат, как и при прямом суммировании [см. формулу (10.14)].

Фиг. 10.5.

Если, например, то

На фиг. 10.5 приведены значения дисперсии (средней мощности шума на выходе) для трех простых фильтров. Следует отметить небольшое уменьшение дисперсии при введении нуля, так что нуль способствует уменьшению шума на выходе.