2.7. Соотношение между плоскостью s и плоскостью z, z-преобразования

В разд. 2.3. установлено, что преобразование Лапласа дискретизованного экспоненциального сигнала имеет вид

где член дает бесконечное множество полюсов в плоскости Чтобы облегчить анализ и трактовку результатов, удобно сделать замену

которая приводит к соответствующему -преобразованию рассматриваемому в плоскости z. Следует отметить, что соответствует задержке на один интервал дискретизации Т в плоскости тогда как означает такую же задержку в области Поскольку

то

и тогда точка в плоскости отображается в точку в плоскости z (фиг. 2.11, а).

Фиг. 2.11. Соотношение между плоскостью и плоскостью соотношение между единичная окружность в плоскости

Рассматривая угол получим

и так как

то путь вдоль мнимой оси в плоскости на фиг. 2.11, б отображается в единичную окружность в плоскости 2, так как а равняется нулю на мнимой оси и, следовательно,

Фиг. 2.12. Отображение плоскости в плоскость а — преобразование — полюс дискретизованной экспоненты.

При этом полоса шириной в плоскости при отображении перекрывает всю плоскость и все последующие полосы из плоскости отображаются в ту же плоскость Строго говоря, эти полосы отображаются в последовательность поверхностей Римана, которые накладываются в плоскости Общее соотношение плоскостей показано на фиг. 2.12, а, где полоса шириной из левой половины плоскости (ее устойчивой области) отображается внутрь круга единичного радиуса в плоскости

Существенным свойством отображения является то, что все полюсы преобразования Лапласа в плоскости 5, которые расположены по одной вертикали с интервалами отображаются в единственный полюс в плоскости Следовательно, z-преобразование дискретизованной экспоненты имеет только один полюс в плоскости

Преобразованию Лапласа дискретизованной экспоненты записанному в виде

где соответствует z-преобразование

с полюсом в точке (фиг. 2.12, б). Этот полюс находится внутри круга единичного радиуса, если что соответствует затухающей экспоненте.

Для получения -преобразования непрерывного экспоненциального сигнала, заданного выражением

необходимы следующие операции:

1) дискретизация:

2) преобразование Лапласа:

3) подстановка

с полюсом в точке Следует отметить, что положение полюсов в плоскости меняется с изменением интервала дискретизации Т.