1.2. Сравнение аналоговых и цифровых фильтров

Аналоговые системы с сосредоточенными параметрами состоят из элементов, выполняющих интегрирование и дифференцирование:

и, кроме того, содержат масштабирующие устройства — усилители, резисторы, трансформаторы, для которых

Уравнения, описывающие такие системы, являются линейными, интегродифференциальными. Например, система первого порядка «а фиг. 1.2, а описывается дифференциальным уравнением

на фиг. 1.2, б представлена импульсная характеристика этой системы. Решения уравнений имеют вид суммы членов, соответствующих собственным затухающим либо возрастающим по экспоненте

синусоидальным или косинусоидальным колебаниям системы и вынужденным колебаниям от входного воздействия.

Если элементы системы линейны, то для нее применим принцип суперпозиции. Переменные в аналоговых системах определены в любой момент времени.

Фиг. 1.2. Непрерывная, или аналоговая, система первого порядка. а — цепь; б — импульсная характеристика.

Фиг. 1.3. Цифровая система первого порядка. а — блок-схема; б — импульсная характеристика.

В цифровых системах переменные известны лишь в дискретные моменты времени. В этих системах используются операции сложения и умножения, а также задержка, кратная интервалу времени, равному Т секунд, между отсчетами, т. е. интервалу дискретизации, или периоду синхронизации. Возможность задержки обеспечивается путем хранения значений сигнала сколь угодно долго.

Простейшим примером является система первого порядка (фиг. 1.3, а). Здесь значение на выходе равно задержанному на один интервал дискретизации, т. е. предыдущее значение х берется в качестве последующего значения у. Эта система описывается уравнением

откуда

где — оператор первых разностей, определяемый следующим образом:

Уравнение (1.3) является разностным, как, следовательно, и уравнение (1.2). Аналогично разностными являются уравнения, описывающие дискретные системы с задержкой. Эти уравнения играют здесь ту же роль, что и дифференциальные уравнения в аналоговых системах. В обоих случаях уравнения, к счастью, являются линейными, что позволяет применять принцип суперпозиции.

Приведенная система обладает импульсной характеристикой в виде экспоненты (фиг. 1.3,б), подобной той, которую имеет -цепь, но дискретизованной. В данном простом случае этот результат может быть легко получен. Пусть на вход подается единичный импульс (с последующими нулями), а у в этот момент равен нулю. В последовательные моменты отсчетов имеем

Как и в случае аналоговых фильтров, здесь наблюдаются соответствующие затухающие синусоидальные колебания, являющиеся элементарными откликами систем высших порядков.