Глава 3. ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

А. Константинидис

3.1. Общие замечания

В классической линейной теории цепей электрические свойства элементов схем описываются линейными математическими операциями над токами и напряжениями. Так, для резистора, индуктивности и емкости справедливы математические соотношения

где все символы имеют общепринятые значения. При использовании этих формул совместно с законами Кирхгофа получают систему линейных дифференциальных уравнений (или, в общем случае, уравнений, сводимых к дифференциальным), характеризующих конкретную линейную цепь. Однако элементы, которые используются в цифровых фильтрах, выполняют не такие функции, как резисторы, индуктивности и емкости. Они, как травило, характеризуются зависимостью между входом и выходом, а не соотношением между токами и напряжениями. Так,

Приведенные здесь символы и указанные операции иллюстрируются на фиг. 3.1.

Пусть элементы цифрового фильтра соединены одним из желательных способов. Это соединение с учетом выполняемых элементами функций определяет действия над сигналами, которые либо изменяются по величине, либо складываются с другими сигналами, либо задерживаются. Это значит, что для системы, состоящей из таких элементов, с одним входом и одним выходом можно составить линейное разностное уравнение, описывающее ее поведение. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пример 3.1. Дискретная система работает таким образом, что каждый выходной отсчет сигнала получается в результате сложения

входного отсчета с частью а предшествующего (по времени) выходного отсчета.

Решение. Уравнение, описывающее данную систему, выводится следующим образом. Обозначим выходной отсчет через так что предшествующий выходной отсчет будет

Фиг. 3.1. Элементы цифрового фильтра.

Пусть также будет входным отсчетом. Система описывается уравнением

которое справедливо для положительных отсчетов времени (т. е. для всех положительных Уравнение (3.1) является линейным разностным уравнением первого порядка. Поучительно рассмотреть работу этой системы во временной области. Для этого используем входной сигнал

который имеет значение 1 при и нуль при всех других . Если предположить, что элемент задержки (фиг. 3.2) не содержал

Фиг. 3.2. Выходной сигнал при

отсчетов сигнала в начальный момент времени, то система будет работать следующим образом. При сигнал на входе равен 1, и, так как элемент задержки содержит нуль, на выходе также будет нуль. На выходе сумматора, следовательно, появится первый выходной отсчет, равный 1. Он сразу же оказывается на входе элемента задержки и запоминается в нем. Система остается в таком состоянии до тех пор, пока через интервал Т на ее входе не появится следующий отсчет. В этот момент времени на выходе элемента задержки в точке С мгновенно появляется хранящийся в нем отсчет, равный 1, который в точке умножается на коэффициент а. Таким образом, следующий выходной отсчет в точке В равен

Эта величина снова запоминается в элементе задержки. Аналогично выходные отсчеты в следующие моменты времени будут равны

фиг. 3.2 изображен выходной сигнал для трех различных положительных значений а. Из графиков, а также равенства (3.2) видно, что выходные отсчеты уменьшаются по величине с течением времени (т. е. при увеличении k) только при условии, что модуль коэффициента а меньше единицы. Следовательно, система устойчива тогда и только тогда, когда

Полученный выходной сигнал можно рассматривать как импульсную характеристику системы. Она имеет уже знакомый вид затухающей экспоненты, который характерен для изменения напряжения в RC-цепи.