10.6. Предельные циклы низкого уровня

В предыдущем разделе при рассмотрении ошибок округления и усечения, возникающих после умножения в различных узлах фильтра, предполагалось, что все они взаимно независимы и некоррелированы от выборки к выборке. Как показано рядом авторов, рассматривавших эти вопросы [2—9, 16—20], теоретические результаты, полученные при этих предположениях, хорошо согласуются с экспериментальными данными, но лишь при условии, что входной сигнал фильтра имеет достаточную аматлитуду. Для входных сигналов низкого уровня шумы округления становятся коррелированными,

и в пределе, когда входной сигнал равен нулю, на выходе рекурсивных цифровых фильтров наблюдаются периодические сигналы или предельные циклы. Таким образом, фильтры, импульсная характеристика которых должна спадать до нуля, могут не иметь такой характеристики вследствие квантования результатов умножения в различных узлах фильтра. (Фильтры, считавшиеся асимптотически устойчивыми в смысле ограниченности входа и выхода, оказываются на границе устойчивости.)

При условии, что не происходит переполнения [5], ошибки предельных циклов низкого уровня не нарушают устойчивости фильтра. Приводимый ниже пример 4 служит иллюстрацией возникновения предельных циклов в цифровых фильтрах.

Пример 4. Рассмотрим цифровой фильтр порядка с разностным уравнением

Здесь — выходной и входной сигналы, коэффициент умножителя. Возможная схема построения такого фильтра показала на фиг. 10.16 а.

Фиг. 10.16 а.

Идеальные значения выходного сигнала при подаче на вход последовательности приведен во втором столбце табл 10.1. В третьем столбце представлены выходные отсчеты, когда каждый результат умножения на 0,9 округляется до ближайшего целого. Из приведенной таблицы видно, что через секунд в фильтре начинаются колебания. Амплитуда колебаний равна 5, частота колебаний — половине частоты дискретизации фильтра. При разных порядках и коэффициентах умножителя фильтра амплитуда и частота колебаний будут различными.

Таблица 10.1 (Входные отсчеты