Приложение 10В. Дискретная теорема Парсеваля
Рассмотрим. линейную систему, изображенную на фиг. 10.22, где 
— входная и выходная функции времени соответственно, 
— импульсная характеристика линейной системы (фильтра).
Фиг. 10.22.
Энергетический спектр выходной функции 
обозначенный через 
равен [24]
где 
— энергетический спектр входной функции 
— частотная характеристика фильтра. Среднее значение выходной мощности равно интегралу от энергетического спектра:
С учетом формул (10.66) и (10.67) оно может быть представлено следующим образом:
Если считать, что 
— нормальный случайный процесс с дисперсией 
то формула (10.68) упрощается к виду
Эту формулу можно преобразовать из частотной области в область переменной 
используя преобразование
отображающее мнимую ось плоскости 
в единичную окружность в плоскости 
и преобразующее интеграл, который ранее вычислялся в пределах от 
до 
в контурный по единичной окружности.
Продифференцируем выражение (10.70):
Отсюда
Таким образом, преобразование (10.70) сводит выражение (10.69) к виду
Из формулы (10.10) находим
Приравнивая правые части равенств (10.73) и (10.74), получим теорему Парсеваля:
