5.2. Полиномиальные цифровые фильтры нижних частот

Выше было показано, что в общем случае квадрат амплитудной характеристики имеет вид

Под «полиномиальными фильтрами» мы понимаем фильтры, для которых функция в формуле (5.6) выражается в общем виде как

где — аргумент характеристики фильтров нижних частот, — действительные постоянные коэффициенты.

Так как выражение (5.6) с функцией имеющей вид (5.7), должно аппроксимировать идеальную амплитудную характеристику, то для обеспечения заданной формы на выражение (5.7) могут быть наложены некоторые специфические ограни: чения способа аппроксимации. Прежде чем приступить к оценке различных видов рассмотрим общую форму этого полинома, задаваемую выражением (5.7), и сформулируем его основные свойства.

Легко увидеть, что на всех частотах, равных где — угловая частота дискретизации (и, следовательно, также на граничных частотах Найквиста), имеем

так что на этих частотах стремится к бесконечности, а амплитудная характеристика равна нулю.

Далее, когда зависимость (5.7) имеет характер

и, так как — монотонная функция частоты , следовательно, будут монотонными функциями . Последнее означает, что будет монотонно неограниченно возрастать, монотонно уменьшаться до нуля на частотах

Очевидно, что определяемая выражением (5.6), периодична по с периодом Ввиду этого можно ограничиться рассмотрением одного периода, например главной полосы для которой можно отметить следующее.

Квадрат амплитудной характеристики описываемый формулой (5.6) с функцией в виде (5.7), монотонно уменьшается, начиная с некоторой частоты сос, и равен нулю на

Сформулированное свойство интересно сравнить с аналогичным свойством аналогового фильтра нижних частот, для которого (является действительным полиномом от неограниченно возрастающим на бесконечности, начиная с некоторой определенной частоты. Последнее означает, что передаточная функция аналогового фильтра этого типа порядка имеет нуль порядка на бесконечности, тогда как передаточная функция цифрового фильтра порядка имеет выполняющий ту же функцию нуль порядка на частоте Найквиста.

Разделив главную полосу на полосы пропускания и непропускания, приходим к выводу, что выбор в виде суммы (5.7) приводит к монотонному изменению амплитудной характеристики цифровых фильтров нижних частот в полосе непропускания. Однако поведение в полосе пропускания должно быть оговорено в начальных условиях и может быть монотонным баттервортовского типа, чебышевским с равновеликими пульсациями и т. д.

В заключение отметим, что в пределе, когда число членов суммы (5.7) неограниченно возрастает, выражение (5.6) стремится к выражению для идеальной частотной характеристики.