Глава 11. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Г. Баун

11.1. Введение

При синтезе цепей понятие оптимизация [1] более или менее очевидно. Мы подбираем расчетные параметры (обычно это значения компонент) до тех пор, пока реализация в некотором заданном смысле не станет оптимальной, приближаясь таким образом к почти идеальному варианту. Для достижения этой цели нужно уметь оценивать реализацию на любом этапе ее синтеза. Последнее обычно осуществляется путем взятия отсчетов характеристики фильтра для значении независимой переменной (например, частоты) получения таким образом вектора ошибки Е:

Поясним понятие вектора ошибки на простом примере из области нерекурсивной фильтрации (гл. 6), в которой (методы оптимизации нашли широкое применение [2, 3]. Фильтр с откликом на единичный импульс в виде последовательности имеет частотную характеристику равную

причем коэффициенты можно варьировать. Для определенности, а также с целью предельного упрощения примера рассмотрим только модуль обозначив его через и переписав в виде

где — независимая переменная, а рассчитываемые коэффициенты (с точки зрения задачи оптимизации они являются переменными). Идеальный отклик можно задать с помощью исходных

данных для дискретных значений . «Пусть таблица этих данных имеет вид

Все три элемента вектора ошибки можно записать следующим образом:

Они представляют собой разности между значениями вычисленными по формуле (11.2), и приведенными в таблице исходными данными. Требуемые условия будут полностью удовлетворены, если каждая из этих ошибок равна нулю и, следовательно, вектор ошибки Е — нулевой. Задавая переменным числовые значения, можно рассчитать соответствующие векторы Е. Результаты сведены в следующую таблицу:

Возникают два вопроса: можно ли полностью удовлетворить требуемым условиям, а если нет, то можно ли сказать, какой из двух вариантов лучше? При ответе на первый вопрйс следует учитывать, что, имея две степени свободы, невозможно удовлетворить одновременно трем условиям, так что нельзя рассчитывать свести к нулю каждый из элементов Е. Ниже всегда будет предполагаться, что число выборочных отсчетов больше числа переменных . С учетом сказанного следует рассмотреть, что такое наилучшее решение, т. е. получить ответ на второй из поставленных вопросов.. Из приведенной таблицы видно, что во втором примере два из трех элементов ошибки равны нулю, поэтому он представляется ближе к идеальной реализации, чем первый пример, в котором только один элемент ошибки равен нулю. С другой стороны, интерес

может представлять только ошибка в наихудшей дискретной точке, так как именно на этой основе обычно задают исходные данные. При этом второй .пример оказывается ничуть не лучше первого, поскольку величина наибольшей ошибки в обоих случаях. равна единице. Возникшую трудность можно преодолеть, если принимать решение на основе скалярной величины, являющейся в свою очередь функцией вектора Е. Эта величина в теории оптимизации носит название целевой функции.

Целевая функция служит скалярной мерой ошибки между полученной реализацией и исходными данными. Она должна уменьшаться по мере улучшения реализации и равняться нулю в идеальном случае, когда вектор Е является нулевым. При этом задача оптимизации расчета цепей становится эквивалентной математической задаче минимизации функции переменных. Существует много способов определения этой функции. Обычно используют критерий суммы квадратов

и критерии максимума модуля

Решения, соответствующие минимальному значению для этих двух альтернативных критериев, называются соответственно решением наименьших квадратов и минимаксным решением. С математической точки зрения предпочтительнее метод наименьших квадратов, поскольку вычисления в этом случае носят достаточно элементарный характер. Иная ситуация имеет место при использовании минимаксного метода, так как первые частные производные от по переменным не являются непрерывными функциями.

Однако с точки зрения задания исходных данных и работы с фильтром минимаксный критерий является весьма привлекательным. В связи с этим ему было уделено значительное внимание [2—6]. Было показано, что задача синтеза нерекурсивных фильтров оказывается вполне разрешимой с применением модифицированных методов линейного программирования. Пример полосового фильтра, рассчитанного рассматриваемыми методами, приведен на фиг. 6.11. Обширные сведения по расчету полосовых фильтров с импульсной характеристикой конечной длительности содержатся в работе [2].

Для расчета рекурсивных фильтров методами оптимизации использовалось несколько критериэв [6]. Коэффициенты и характеристики таких фильтров обычно связаны нелинейными соотношениями. В некоторых случаях оказалось возможным выполнить преобразования, позволяющие использовать методы линейного программирования.