10.4.3. Квантование результатов арифметических операций

Результат каждого умножения лараметра состояния на коэффициент должен быть усечен или округлен. При выполнении каждой итерации разностного уравнения эта операция над произведениями приводит к ошибкам в различных узлах системы. Для анализа влияния этой ошибки, аналогичного эффекту квантования на входе, в разных узлах фильтра вводится белый шум. Поскольку этот шум вводится в различных узлах системы, средняя мощность шума на выходе будет зависеть от структуры фильтра.

Существуют четыре основные формы реализации передаточной функции:

1) прямая;

2) прямая каноническая (меньшее число элементов задержки);

3) параллельная (прямая и каноническая);

4) каскадная (прямая или каноническая).

Для каждой из этих четырех структур в последующих подразделах рассчитывается среднее значение мощности шума на выходе, связанного с квантованием результатов арифметических операций.

10.4.3.1. Прямая форма

Шумовая модель прямой формы построения фильтра с нулями и М полюсами, содержащая источники шума, подключенные к различным узлам фильтра, изображена на фиг. 10.9. Все шумовые источники подключены непосредственно к сумматору, поэтому их можно объединить в один шумовой источник, соединенный с сумматором, как показано на фиг. 10.10. Легко увидеть, что шум проходит только через полюсы фильтра, определяемые коэффициентами Таким образом, передаточная функция от шумового источника до выхода состоит только из полюсов, тогда как сигнал проходит через нули (они описываются коэффициентами Среднюю

Фиг. 10.9. Шумовая модгль для прямой формы цифрового фильтра.

Фиг. 10.10.

мощность шума на выходе фильтра можно вычислить следующим образом.

Пусть передаточная функция фильтра описывается формулой

где определяет нули, а — полюсы. В предположении, что шум введенного источника представляет собой стационарный в ищроком смысле случайный процесс с нулевым средним [1—3, 5—11], спектральная плотность мощности шума на выходе будет

где - эффективная передаточная функция только для шума, а чиектральная плотность мощности источника шума, подключенного к сумматору.

Средняя мощность шума на выходе определяется среднеквадратическим значением шумовой последовательности, равным среднему значению автокорреляционной функции в начале координат. Автокорреляционная функция имеет вид

В начале координат, где

Автокорреляционная функция равна преобразованию Фурье от функции спектральной плотности мощности, поэтому среднее значение автокорреляционной функции в начале координат равно среднему значению энергетического спектра, т. е.

Таким образом, согласно формулам (10.45) и (10.47), средняя мощность шума на выходе может быть вычислена по формуле

где — средняя мощность шума, вызванного округлением произведений, — шаг квантования, а — число полюсов и нулей.

10.4.3.2. Каноническая форма

Фильтр канонической формы содержит половину общего числа элементов задержки, необходимых при прямой форме построения фильтра. Шумовая и эквивалентная шумовая модели канонической формы, изображенные на фиг. 10.11 и 10.12 соответственно, показывают, что эквивалентный источник шума вводится в систему; иначе, чем в фильтре прямой формы. Эквивалентный шум обусловленный умножением коэффициентов на значения параметров состояния, проходит через всю цель (полюсы и нули), тогда как шум связанный с перемножением и параметров состояния, просто добавляется на выходе.

фиг. 10.11. Шумовая модель для канонической фоимы цифрового фильтра.

Фиг. 10.12.

Таким образом, дисперсия на выходе (общая средняя мощность) будет равна сумме дисперсий на входе, обусловленных отдельно

Дисперсия на выходе, обусловленная равна

где — эффективная передаточная функция для — число полюсов. Дисперсия на выходе, обусловленная рассчитывается по формуле

Поэтому выражение для общей дисперсии шума на выходе, равной сумме и (Та, будет иметь следующий вид:

Итак, при канонической форме построения фильтра часть шума и сигнал проходят как через нули, так и через полюсы системы. Обычно, хотя и не всегда (см. пример 5 в приложении нули ослабляют шум, поэтому, когда речь идет об ошибках округления в арифметических устройствах с фиксированной запятой, каноническая форма, по-видимому, лучше прямой формы. В работе показано, что при работе с плавающей запятой уровень шумов округления для канонической и прямой форм одинаков.

10.4.3.3. Параллельная форма

Передаточная функция фильтра параллельной формы (фиг. 10.13) представляется в виде линейной комбинации передаточных функций или порядка, т. е.

Фиг. 10.13. Шумовая модель для параллельной формы цифрового фильтра.

Каждая из этих упрощенных передаточных функций 1-го или 2-го порядка реализуется в прямой или канонической форме. Дисперсия шума на выходе каждого блока с передаточной функцией вычисляется в зависимости от структурной формы блока по формуле (10.48) или (10. 51). Полная дисперсия шума на выходе

равна сумме средних значений мощностей шума на выходе всех блоков, т. е.

где — число параллельных каналов.

10.4.3.4. Каскадная форма

Передаточная функция фильтра каскадной формы (фиг. 10.14) разбивается на составляющие 1-го или 2-го порядка следующим образом:

И в этом случае мощность шума на выходе каждого блока можно определить, используя формулы (10.48) или (10.51) в зависимости от формы его построения.

Фиг. 10.14 Шумовая модель для каскадной формы цифрового фильтра.

Для каскадной формы шум на входе каждого каскада включает в себя выходной шум предыдущего каскада, а также шум, созданный внутри каскада. Поэтому выходной шум первого каскада проходит через нули и полюсы остальных каскадов. Вообще выходной шум каскада проходит через все нули и полюсы и всех последующих каскадов системы.

В математической форме общая средняя мощность шума может быть выражена следующим образом:

где — число каскадов.

10.4.3.5. Заключение

В общем случае эффекты шумов округления зависят от формы построения цифрового фильтра, даже если все варианты построения дают одну и ту же передаточную функцию. Для выбора конкретной

формы, минимизирующей нежелательные эффекты шума, можно использовать формулы (10.48), (10.51), (10.53) и (10.55). Доказано, что в большинстве случаев наилучшей является каскадная форма [2].

10.5. Измерение шумов

Блок-схема экспериментальной установки для измерения шумов округления, возникающих в цифровом фильтре, представлена на фиг. 10.15.

Фиг. 10.15. Блок-схема измерения шумов цифрового фильтра.

В двух параллельных цепях схёмы содержатся два одинаковых цифровых фильтра с передаточными функциями , а также два аттенюатора, один из которых включен до фильтра (в первой цепи), а другой — за фильтром (во второй цепи). Сигнал в одной из цепей ослабляется до прохождения через фильтр, а в другой — после фильтрации. Таким образом, разность между сигналом на выходе фильтра в первой цепи и сигналом на выходе аттенюатора во второй цепи является непосредственной мерой шумов округления, создаваемых цифровым фильтром с передаточной функцией Я (2).