11.2. Минимаксный критерий и импульсная характеристика конечной длительности

Выше было отмечено свойства минимаксного метода, состоящее в том, что первые частные производные от по не являются непрерывными. Поясним это на (примере, положил ). Тогда уравнения примут вид

Фиг. 11.1 Особенности критерия максимума модуля. (см. скан)

Характер изменения функции при изменении х и использовании критерия максимума модуля показан на фиг. 11.1, а. Функция имеет ярко выраженный минимум при однако ее производная терпит разрыв. Другое важное свойство этого метода можно получить, положив . В этом случае уравнения (11.3) принимают вид

график соответствующей функции показан на фиг. 11.1, б. Она имеет минимум не в одной точке, а на интервале

что иллюстрирует еще одно свойство функций с разрывными производными.

Теперь логично отказаться от ограничений на и рассматривать как функцию двух переменных. Для графического представления этой функции изобразим контурную диаграмму, каждый контур которой соответствует определенному значению (фиг. 11.2). Видно, что контуры имеют острые углы, причем форма контуров может резко меняться. Последнее связано с переходом от равенства одной из ошибок к равенству другой ошибки при изменении переменных и лучше всего может быть продемонстрировано путем введения нового определения целевой функции:

где

Это определение эквивалентно исходному [см. формулу (11.5)], но имеет более удобную форму записи и по существу представляет собой первый важный шаг в направлении получения минимаксного решения. Теперь в численном примере нужно рассматривать шесть ошибок:

Пусть эти ошибки измеряются вдоль третьей оси, нормальной к изображенной на фиг. 11.2 «плоскости Теперь они представляются

Фиг. 11.2. Контурная диаграмма. (см. скан)

шестью плоскостями [пронумерованными в соответствии с индексами левых частей уравнений (11.10)], а функция определяется поверхностью, расположенной наиболее высоко над плоскостью Она является поверхностью выпуклого многогранника, причем наинизшая точка поверхности совпадает, вообще говоря, с его вершиной. Эта вершина образуется при пересечении трех плоскостей, имеющих, согласно уравнениям (11.10), номера 1,3 и 5. Три перечисленные плоскости определяют значения функции вплоть до уровня включительно и создают трехсторонние контуры, изображенные на фиг. 11.2. Для больших значений определяющими становятся еще две (плоскости, четвертая и шестая, которые создают в итоге пятисторонние контуры. Шестая плоскость с номером 2 не является определяющей ни в одной из точек и не влияет на окончательное решение. Представив графически все три плоскости, определяющие положение вершины в наинизшей точке, получим искомое решение:

Будучи весьма наглядной, графическая методика является громоздкой даже для случая двух переменных и практически неосуществима при большем их числе. Поэтому следует разработать более формализованную методику. Она составляет содержание следующего раздела, а сейчас укажем три основных ее момента:

а) постановка задачи как задачи оптимизации с ограничениями;

б) достаточные условия решений (т. е. минимальное значение

в) алгоритм перехода от с помощью конечного числа шагов.

Отметим также, что в противоположность традиционнной задаче линейного (программирования при исследовании операций мы не будем вводить предположение о том, что переменные положительны. Будем считать, что эти переменные не ограничены и могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.