9.2. Цифровые фильтры с линейной фазовой характеристикой

Любой фильтр с импульсной характеристикой (называемой также весовой функцией), симметричной относительно момента подачи единичного импульса, имеет чисто действительную частотную характеристику. Можно также показать, что фильтр с антисимметричной относительно весовой функцией (в том смысле, что часть характеристики, расположенная слева от равна перевернутому зеркальному отражению ее правой половины) имеет чисто мнимую частотную характеристику; иначе говоря, на всех частотах он создает фазовый сдвиг 90 или 270°. Простой пример симметричной весовой функции приведен на фиг. 9.1.

Фиг. 9.1. Простая симметричная весовая функция.

Соответствующую ей частотную характеристику можно рассчитать, используя метод, описанный в гл. 3. В результате получим функцию

являющуюся чисто действительной (фиг. 9.2). Отсюда следует, что любая весовая функция конечной длительности, симметричная относительно

Фиг. 9.2. Модуль частотной характеристики, соответствующей весовой функции, изображенной на фиг. 9.1.

приводит к действительной частотной характеристике, равной конечной сумме косинусов, включая постоянную составляющую.

Фиг. 9.3. Более сложная симметричная весовая функция.

Таким образом, частотная характеристика, соответствующая представленной на фиг. 9.3 весовой функции, имеет следующий вид:

Конечно, цифровой фильтр с импульсной характеристикой, начинающейся до момента физически неосуществим, поскольку его отклик на входной импульс опережает сам импульс. Однако его легко преобразовать в физически осуществимый, сдвинув импульсную характеристику по оси времени таким образом, чтобы она начиналась с момента или позже. Это не повлияет на амплитудно-частотную характеристику, но превратит нулевую фазово-частотную характеристику исходного фильтра в линейную фазовую характеристику.