ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ, ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ФУНКЦИИ

56. Интеграл Френеля.

В [21] была доказана основная теорема о вычетах, которая является исходным моментом при применении теории аналитических функций к различного рода вычислительным процессам и аналитическим представлениям функций. Мы будем дальше заниматься задачами вычисления определенных интегралов, интегрирования линейных дифференциальных уравнений, разложения функций в бесконечные ряды и представления функций контурными интегралами.

Начнем с вычисления определенного интеграла вида [II, 86]

который называется обычно интегралом Френеля и встречается в задачах дифракции света. Рассмотрим интеграл

где замкнутый контур, состоящий из отрезка ОА вещественной оси дуги АВ окружности с центром О и радиуса и отрезка прямой ВО, причем мы берем угол АОВ равным Внутри этого контура подинтегральная функция не имеет вовсе особых точе, а потому величина интеграла (2) равна нулю. Разобьем этот интеграл на три части соответственно трем, указанным выше, кускам контура. Вдоль ОА переменная z будет вещественной, и мы положим причем Вдоль ВО мы имеем Наконец, вдоль АВ имеем:

откуда . Таким образом, мы получаем следующее равенство:

Покажем, что третий из написанных выше интегралов стремится к нулю при беспредельном возрастании R. Принимая во внимание, что при чисто мнимом по модулю дает единицу, и заменяя подинтегральную функцию в интеграле ее модулем, мы придем к неравенству вида

Докажем, что выражение, стоящее справа, стремится к нулю при Вводя вместо новое переменное и отбрасывая постоянный множитель, не играющий роли, мы получим выражение

Разделим промежуток интегрирования на две части , где а — некоторое число, лежащее между и

В первом из написанных интегралов заменим отрицательный показатель наибольшим из значений, т. е. наименьшим по абсолютной величине, а именно значением Подинтегральную функцию второго интеграла умножим на дробь которая все время больше единицы в промежутке . Таким образом, увеличивая сумму (4), мы придем к сумме вида

и нам достаточно показать, что эта последняя сумма стремится к нулю. Но оба интеграла, входящих в эту сумму, вычисляются до конца, и сумма их имеет вид

откуда непосредственно и следует, что она стремится к нулю при беспредельном возрастании R. Таким образом, мы показали, что третье слагаемое в левой части (3) стремится к нулю при . Первое же из слагаемых левой части имеет предел

который, как мы знаем равен . Можно, следовательно, утверждать, что и второе слагаемое имеет определенный предел, причем в пределе получаем равенство

или, отделяя вещественную и мнимую части под знаком интеграла,

Приравнивая вещественные и мнимые части, находим отсюда непосредственно величину интеграла Френеля: