§ 115. Геометрическая оптика

Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (порядка ). Поэтому распространение видимого света можно в первом приближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами. В предельном случае, соответствующем законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.

В соответствии с этим раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, называется геометрической оптикой. Другое название этого раздела — лучевая оптика.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверждает, что луни при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света. При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Законы отражения и преломления света сформулированы в § 112 (см. формулы (112.7) и (112.8) и следующий за ними текст).

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине XVII столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Рис. 115.1.

Для прохождения участка пути (рис.

115.1) свету требуется время где v — скорость света в данной точке среды.

Заменив v через (см. (110.2)), получим, что Следовательно, время , затрачиваемое светом на прохождение пути от точки до точки 2, равно

(115.1)

Имеющая размерность длины величина

(115.2)

называется оптической длиной пути.

В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды :

(115.3)

Согласно (115.1) и (115.2)

(115.4)

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим, образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть экстремальной, т. е. либо минимальной, либо максимальной, либо стационарной — одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таутохронными (требующими для своего прохождения одинакового времени).

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Следовательно, луч, пущенный навстречу лучу, проделавшему путь от точки 1 к точке 2, пойдет по тому же пути, но в обратном направлении.

Рис. 115.2.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности (рис. 115.2; прямой путь из А в В прегражден непрозрачным экраном Э). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна (вспомогательная точка А является зеркальным изображением точки А). Из рисунка видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. Заметим, что при удалении точки О от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, так что в данном случае имеется только один экстремум — минимум.

Теперь найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была экстремальна (рис. 115.3). Для произвольного луча оптическая длина пути равна

Чтобы найти экстремальное значение, продифференцируем L. по х и приравняем производную нулю)

Множители при равны соответственно Таким образом, получается соотношение

выражающее закон преломления (см. формулу (112.10)).

Рассмотрим отражение от внутренней поверхности эллипсоида вращения (рис. 115.4; — фокусы эллипсоида). В соответствии с определением эллипса пути и т. д. одинаковы по длине.

Рис. 115.3.

Рис. 115.4.

Поэтому все лучи, вышедшие из фокуса и пришедшие после отражения в фокус являются таутохронными. В этом случае оптическая длина пути стационарна. Если заменить поверхность эллипсоида поверхностью ММ, имеющей меньшую кривизну и ориентированной так, что луч, вышедший из точки после отражения от ММ попадает в точку то путь будет минимальным. Для поверхности , имеющей кривизну большую, чем у эллипсоида, путь будет максимальным.

Стационарность оптических путей имеет место также при прохождении лучей через линзу (рис. 115.5). Луч имеет самый короткий путь в воздухе (где показатель преломления практически равен единице) и самый длинный путь в стекле ( Луч имеет более длинный путь в воздухе, но зато более короткий путь в стекле. В итоге оптические длины путей для всех лучей оказываются одинаковыми. Поэтому лучи таутохронны, а оптическая длина пути стационарна.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в неоднородной изотропной среде вдоль лучей 1, 2, 3 и т. д. (рис. 115.6). Неоднородность будем считать достаточно малой для того, чтобы на отрезках лучей длины X показатель преломления можно было считать постоянным.

Построим волновые поверхности и т. д. таким образом, чтобы колебания в точках каждой следующей поверхности отставали по фазе на от колебаний в точках предыдущей поверхности. Колебания в точках, лежащих на одном и том же луче, описываются уравнением ( — расстояние, отсчитываемое вдоль луча). Отставание по фазе определяется выражением к , где — расстояние между соседними поверхностями. Из условия получаем, что Оптическая длина каждого из путей геометрической длины X равна (см. (110.5)). Согласно (115.4) время , за которое свет проходит некоторый путь, пропорционально оптической длине этого пути. Следовательно, равенство оптических длин означает равенство времен прохождения светом соответствующих путей. Таким образом, мы приходим к выводу, что отрезки лучей, заключенные между двумя волновыми поверхностями, имеют одинаковую оптическую длину и являются таутохронными.

Рис. 115.5.

Рис. 115.6.

В частности, таутохронны отрезки лучей между изображенными пунктиром на рис. 115.5 волновыми поверхностями ММ и NN.

Из проведенного нами рассмотрения вытекает, что отставание по фазе б, возникающее на пути с оптической длиной L, определяется выражением

(115.5)

( — длина волны в вакууме).