КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Лекция седьмая

Принцип относительности, гласит, что во всех системах координат, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью о, все физические явления протекают одинаковым образом. Это означает, что никакими экспериментами, проводимыми внутри замкнутого пространственного объема, движущегося с постоянной скоростью v (например, относительно центра гравитации материи всей Вселенной), нельзя определить саму эту скорость. Этот принцип подтверждается экспериментам. Уравнения Ньютона удовлетворяют принципу относительности. Они не меняются при преобразованиях Галилея

так как содержат лишь вторые производные по времени. Уравнения Максвелла, однако, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Ранние исследователи, основываясь на этом, пытались определить абсолютную скорость Земли (опыт Майкельсона — Морли). Полный провал всех попыток обнаружить такой эффект привел к постулату Эйнштейна, утверждавшего, что уравнения Максвелла имеют один и тот же вид во всех системах координат и что скорость света, в частности, также не зависит от системы координат. Преобразования системы координат, оставляющие уравнения Максвелла инвариантными, называются преобразованиями Лоренца и имеют вид:

где Начиная с этого места, мы будем пользоваться системой единиц, в которой скорость света Приведенная выше форма записи показывает, что преобразования Лоренца аналогичны преобразованию вращения системы координат:

Два последовательных преобразования (или их и ) складываются в том смысле, что одно преобразование (или ) дает ту же самую результирующую систему координат, если

Эйнштейн постулировал (специальная теория относительности), что уравнения Ньютона следует модифицировать таким образом, чтобы они также оставались инвариантными при преобразованиях Лоренца.

Интересным следствием преобразований Лоренца является замедлёние хода часов в движущейся системе координат. Это явление называется сокращением времени.

При преобразованиях от одной системы координат к другой удобно пользоваться тензорным анализом. С этой целью определим -вектор как набор четырех величин, преобразующихся так же, как и . Для обозначений компонент -вектора будем пользоваться индексом Например,

Следующие величины являются -векторами:

Инвариантом называется такая величина, которая не меняется при преобразованиях Лоренца. Если и два -вектора, то их скалярное произведение

является инвариантом. Чтобы каждый раз не писать символ суммирования, будем пользоваться следующим условным обозначением: по дважды повторяющимся индексам будет подразумеваться суммирование в соответствии с формулой для скалярного произведения двух -векторов. Лоренцовскую инвариантность уравнения непрерывности можно легко показать, записав его в виде скалярного произведения двух 4-векторов

Следствием инвариантности этого скалярного произведения является закон сохранения заряда во всех системах координат в случае, когда он сохраняется в какой-либо одной.

Инвариантом является также и величина

( — полная энергия, — масса покоя, -энергия покоя, — импульс). Таким образом,

Интересно отметить, что инвариантной величиной является фаза волновой функции свободной частицы

Действительно,

Инвариантность произведения можно использовать для преобразования энергии из лабораторной системы координат в систему центра тяжести (см фиг. 8).

Фиг. 8.

Рассмотрев для простоты случаи тождественных частиц, имеем

С другой стороны,

Поэтому

и, следовательно,

Уравнения электродинамики легко записываются в тензорной форме:

Здесь использован тот факт, что скалярный потенциал является четвертой компонентой 4-вектор-потенциала Из вышеизложенного следует, что величины представляют собой компоненты -тензора второго ранга

Тензор является антисимметричным причем его диагональные элементы равны нулю. Независимыми являются всего шесть компонент (три компоненты соответствуют Е и три — В) из шестнадцати:

Уравнения Максвелла записываются в виде

где — немой индекс суммирования. Три первые компоненты этого уравнения соответствуют уравнению Максвелла для тока, четвертая же компонента соответствует уравнению Пуассона.

Подставляя выражение (7.1) в уравнение (7.2), получаем уравнение для -вектор-потенциала А:

Потенциал А определен соотношением (7.1) не однозначно. Действительно, потенциал

где — скалярная функция координат, также удовлетворяет этому соотношению.

Такое изменение или преобразование потенциала называется калибровочным или градиентным преобразованием. На потенциал мы будем накладывать дополнительное ограничение, так называемое условие Лоренца:

сужая тем самым неоднозначность. Это условие является весьма удобным, так как оно, кроме того, упрощает уравнение для

где Легко видеть, что это уравнение представляет собой совокупность двух трехмерных волновых уравнений

Иногда уравнения (7.5 а) записывают в виде — оператор д'Аламбера, равный Калибровка (7.4) соответствует обычно используемой в классической электродинамике: