УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА—ГОРДОНА, ПАУЛИ И ДИРАКА

Согласно классической релятивистской механике, гамильтониан частицы имеет следующий вид:

При переходе в выражении (9.1) к квантовомеханическим операторам путем замены на возникает трудность, связанная с тем, что операция извлечения квадратного корня остается неопределенной.

Таблица 2. Обозначения и единицы

Тахим образом, получить релятивистский квантовомеханический гамильтониан частицы непосредственно из классического (9.1) нельзя. Однако можно определить квадрат оператора гамильтониана:

Производя при этом замену , получаем

Квадрат оператора вычисляется в соответствии с обычной алгеброй операторов. Уравнение (9.2) впервые было предложено Шредингером как возможное релятивистское уравнение движения частицы. Это уравнение принято называть уравнением Клейна—Гордона. В релятивистски ковариантной форме оно имеет вид

Это уравнение не учитывает «спина» электрона и поэтому не пригодно для описания тонкой структуры спектра атома водорода. В настоящее время считается, что оно применимо к -мезону (к частице с нулевым спином). Чтобы выяснить, насколько это уравнение применимо к атому водорода, положим При этом уравнение (9.2 а) принимает вид

Пусть где тогда

Если пренебречь правой частью этого уравнения по сравнению с первым членом в левой части, получим обычное нерелятивистское уравнение Шредингера. Считая возмущением, можно вычислить тонкую структуру спектра атома водорода и сравнить ее с правильной.

Упражнение. В случае уравнения Клейна — Гордона

Покажите, что ) образует -вектор, причем

Уравнение Клейна — Гордона приводит к результату, который первоначально показался настолько неразумным, что в свое время это послужило достаточным основанием отвергнуть такое уравнение. Этот результат связан с возможностью существования состояний с отрицательной энергией.

Чтобы убедиться, что уравнение Клейна — Гордона действительно предсказывает такие состояния, рассмотрим уравнение для свободной частицы, которое записывается в виде

где — оператор д'Аламбера. Решение этого уравнения в ковариантной форме можно представить в виде где Учитывая соотношение

получаем

Указанная трудность, связанная с появлением состояний с отрицательной энергией Е, побудила Дирака сформулировать новое релятивистское уравнение движения. Уравнение Дирака лравильно объяснило спектр атома водорода и оказалось приемлемым для описания электрона. Однако, вопреки первоначальному замыслу Дирака, оно также привело к существованию состояний с отрицательной энергией, которые на сегодняшний день вполне удовлетворительно интерпретируются. Эту интерпретацию можно распространить и на уравнение Клейна — Гордона.

Упражнение. Покажите, что если функция является решением уравнения Клейна—Гордона при постоянных А и то функция будет решением того же уравнения, в котором А и заменены на — А и Это указывает на одну из возможных интерпретаций решений с отрицательной энергией. Именно такое решение соответствует частице, заряд которой равен по величине и противоположен по знаку заряду электрона, а масса равна массе электрона.

Вместо того чтобы следовать оригинальному выводу уравнения Дирака, мы воспользуемся здесь несколько иным подходом. Уравнение Клейна — Гордона представляет собой ковариантную запись уравнения Шредингера.

По аналогии с этим уравнение Дирака можно получить путем ковариантной записи уравнения Паули.

В этом методе члены, учитывающие «спин», автоматически включаются в релятивистское уравнение частицы. Понятие спина частицы впервые было введено Паули, но тогда еще было не ясно, почему магнитный момент электрона следует считать равным Это значение естественным образом следует из уравнения Дирака. Поэтому часто утверждают, что лишь уравнение Дирака смогло объяснить правильное значение магнитного момента электрона. В действительности, однако, это неверно, ибо дальнейшее исследование уравнения Паули показало, что и из него также естественным образом следует правильное значение магштшго момента электрона, как значение, приводящее к наибольшей простоте теории. В связи с тем что уравнение Дирака учитывает спин частицы, а уравнение Клейна — Гордона не учитывает его и вследствие того, что последнее долгое время считалось неправильным, распространено мнение, будто спин частицы — чисто релятивистское понятие. В действительности это неверно. Уравнение Клейна — Гордона является правильным релятивистским уравнением, но только для частиц с нулевым спином.

Уравнение Шредингера имеет вид

где

а уравнение Клейна—Гордона

Уравнение Паули также имеет вид , причем

Таким образом, оператор уравнении Шредингера заменяется в уравнении Паули оператором

Учитывая это, по аналогия с уравнением Клейна—Гордона можно запчсать возможную форму релятивистского уравнения Паули:

В действительности это уравнение является неправильным; однако правильное уравнение мало отличается от него и получается после учета того, что оператор

Это одна из форм уравнения Дирака.

Волновая функция 1 в уравнении Паули, на которую действует оператор Гамильтона, является матрицей

Уравнение, схожее с первоначально предполагавшимся Дираком, можно получить следующим образом. Для удобства запишем

Введем далее функцию , определяемую соотношением .

При этом из уравнения (9.5) следует, что Эти соотношения можно переписать, вводя функции (лишь для удобства записи)

Складывая и вычитая соотношения для получаем

Эти два уравнения можно объединить в одно уравнение, используя специальные обозначения.

Запишем волновую функцию в виде матрицы

Функции здесь представлены в виде матриц, а именно:

Тогда, если ввести вспомогательные матрицы

уравнения для можно записать в виде

представляющем собой четыре уравнения для четырех волновых функций. Используя четырехмерные обозначения, запишем уравнение Дирака в виде

или

Упражнение. Докажите соотношения 0 при

и следствия, вытекающие из них,

Аналогичную форму уравнения Дирака можно получить также несколько иначе — путем сравнения с уравнением Клейна — Гордона. Так, используя обозначения запишем уравнение (9.3) в ковариантной форме:

Аналогичным образом можно записать и уравнение Паули (9.4 а). Действительно, вводя, наряду с указанными выше, также обозначение и полагая (чтобы полностью определить -вектор ), уравнение (9.4 а) можно записать в форме, аналогичной (9.10),

Это уравнение следует сравнить с уравнением (9.9).

Уравнение Паули (9.4) отличается от уравнения Шредингера тем, что вместо трехмерного скалярного произведения содержит квадрат величины ). Аналогично вместо четырехмерного скалярного произведения содержащегося в уравнении (9.10), уравнение (9.11) содержит квадрат величины где -вектор заменяет обычный трехмерный вектор а. Полученное уравнение (9.11) эквивалентно уравнению (9.9). [Уравнение (9.11) получается из уравнения (9.9) путем применения к обеим частям оператора и дальнейшего упрощения правей части путем использования уравнения (9.9).]

Упражнение. Покажите, что уравнение (9.11) эквивалентно уравнению