Лекция двадцать седьмая

СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОНА

В предыдущей лекции была высказана мысль о том, что электрон может сначала излучить, а затем поглотить один и тот же фотон, как это показано на фиг. 45. Поэтому функция распространения, описывающая свободное движение электрона из точки 1 в точку 2, должна учитывать такую возможность. Такая функция распространения, учитывающая лишь эффекты первого порядка (т. е. излучение и поглощение одного фотона), имеет вид

Поправочный член в этом выражении записывается, исходя из диаграммы на фиг. 45, - по аналогии с матричным элементом рассеяния. В рассматриваемом случае импульсы электрона в начальном и конечном состояниях равны друг другу. Поэтому все недиагональные матричные элементы оператора возмущения равны нулю.

Отличен от нуля лишь тот диагональный матричный элемент, для которого начальная и конечная волновые функции принадлежат одному и тому же состоянию электрона.

Фиг. 45.

Как было показано при построении теории возмущений, под действием возмущения, не зависящего от времени, может измениться лишь фаза таких волновых функций, причем изменение фазы пропорционально времени действия возмущения Т. В результате волновая функция принимает вид

Так как эффект возмущения мал, вторую экспоненту в этой выражении можно разложить в ряд, ограничиваясь лишь первыми членами разложения, . Поправочный член в формуле (27.1) как раз и соответствует второму члену этого разложения. Эти два представления, однако, еще не эквивалентны, так как содержат различные нормировочные множители.

Чтобы получить правильнее выражение для поправочного члена, необходимо учитывать следующие обстоятельства.

Во-первых, ясно, что амплитуда вероятности рассматриваемого процесса зависит лишь от пространственно-временного интервала между точками 3 и 4 и совершенно не зависит от абсолютных значений координат и времени в этих точках.

Поэтому, если произвести замену переменных таким образом, чтобы представлял собой элемент интервала (пространственно-временного) между точками 3 и 4, то поправочный член в формуле (27.1) запишется в виде

где функции зависят лишь от интервала между точками 3 и 4.

Во-вторых, выражение (27.2) содержит зависящую от времени часть волновой функции, так как по предположению используемые волновые функции не должны содержать множителей, зависящих от времени. Так как функции в выражении (27.3) уже включают в себя временную зависимость, то в выражении (27.2) указанная временная зависимость должна быть опущена.

В-третьих, нормировка волновых функций в указанных двух приближениях является разной. При получении выражения (27.2) использовалась нормировка

При получении же формул (27.1) и (27.3) принималась нормировка

Таким образом, приведенные выше приближения будут эквивалентны, если выражение (27.3) разделить на нормирующий интеграл (27.4). В результате получим

Интегрирование по дает в числителе множитель У, который сокращается с соответствующим множителем в знаменателе. В результате же интегрирования по возникает множитель который сокращается с таким же множителем в левой части соотношения. Окончательно имеем

Заметим, что этот интеграл является релятивистски инвариантным. Далее, так как величина в рассматриваемом взаимодействии не меняется, , то все изменение можно отнести за счет изменения массы электрона:

Используя это соотношение и переходя в формуле (27.5) к импульсному представлению, получаем

Используя уравнение тик соотношения десятой лекции, подынтегральное выражение можно переписать в виде

В результате выражение (27.6) принимает вид

Интеграл (27.6 а) является расходящимся интегралом; и именно это обстоятельство в течение 20 лет являлось главным препятствием в квантовой электродинамике. Чтобы разрешить эту задачу, требуется изменить основные законы квантовой электродинамики. Так, приходится допустить, что функция распространения фотона равна не , где функция подобрана таким образом, чтобы при . В координатном представлении это изменение записывается в виде

Новая функция существенно отличается от функции лишь в области малых интервалов s. Так как множитель обрезает высокие частоты в разложении Фурье (27.7), то функция искажается лишь при малых значениях аргумента.

В рассматриваемом случае размер интервала, в котором происходит существенное изменение функции, можно грубо оценить следующим образом. Рассмотрим большую величину и предположим, что при При этом искажения будут проявляться для интервалов [из-за экспоненты в формуле (27.7)] . Если эту величину обозначить через то общее поведение функции ) можно представить кривой на фиг. 46. Таким образом, величина играет роль «полуширины» для функции

Фиг. 46.

Если как это и предполагается, то

Последнее выражение и представляет собой искомый размер интервала существенного изменения функции распространения.

Физический смысл функции можно понять следующим образом. Первоначальная функция отличается от нуля лишь при Иными словами, электромагнитный сигнал может пройти расстояние лишь за время t, определяемое условием , или (т. е. скорость света равна 1).

Это утверждение перестает быть справедливым для функции . В какой степени оно нарушается, можно определить измеряя величины Согласно соотношению (27.8), для всех значений величина пренебрежимо мала. Таким образом, при достаточно больших можно считать, что законы электродинамики остаются неизменными практически для любых расстояний.

Практически удобное (и общее) представление функции с при имеет вид

В простейшем случае можно взять

При этом для функции распространения фотона получаем выражение

Второй член соответствует функции распространения фотона с массой . Однако знак минус перед этим членом с этой точки зрения не получил объяснения.

Удобно представить новую функцию распространения фотона в виде интеграла

Заменяя функцию в выражении (27.6 а) новой функцией распространения, получаем интеграл

который можно представить в виде суммы двух интегралов. Эти интегралы отличаются тем, что в одном из них в числителе стоит величина а в другом k, т. е. k, (так как ).