Лекция двадцать третья

МЕТОД СУММИРОВАНИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО СПИНОВЫМ СОСТОЯНИЯМ

При вычислении сечений различных процессов в квантовой электродинамике сначала обычно определяют сечение для «поляризованных» электронов, т. е. для электронов с определенными проекциями спинов в начальном и конечном состояниях. Практически, однако, падающий пучок частиц часто «неполяризован», а проекции спинов рассеянных частиц не измеряются. В такам случае полное сечение процесса получается из сечения для «поляризованных» электронов путем суммирования соответствующих вероятностей перехода по конечным спиновым состояниям электрона и усреднения по начальным. Так как в начальном состоянии все проекции спина равновероятны, а в конечном состоянии проекции спина частицы не интерферируют между собой, такая процедура усреднения является правильной. Формально, если

то имеем

где означает суммирование по конечным спиновым состояниям частицы 2 при определенном знаке энергии, т. е. по двум из четырех возможных состояний частицы.

Аналогично, соответствует суммированию по начальным спиновым состояниям частицы при определенном знаке энергии. Здесь мы изложим простой метод вычисления таких сумм.

В соответствии с обычными правилами матричной алгебры имеет место следующее соотношение:

где А и В — любые операторы или матрицы. Множитель в правой части этого выражения возникает вследствие принятой нормировки а суммирование распространяется по всем состояниям электрона, описывающимся функцией Однако в выражении (23.1) мы должны учитывать не все состояния их, а лишь те, которые удовлетворяют уравнению . Иными словами, такие состояния соответствуют положительным собственным значениям оператора равным . Из соотношения следует, что оператор имеет также и отрицательные собственные значения — , т. е. существуют также два других решения уравнения которые вместе с двумя, указанными выше, образуют полный набор из четырех функций . Последние состояния мы будем называть состояниями с отрицательной энергией.

Далее, если матричные элементы оператора В в соотношении (23.2) для состояний с отрицательной энергией равны нулю, то эта сумма совпадает с суммой т. е. с суммой по состояниям с положительной энергией. Рассмотрим соотношение

Учитывая, что

левую часть этого соотношения можно также записать в виде

Сокращая на множитель , получаем

Оператор называется проектирующим оператором. Аналогично, имеем

где - опять-таки любая матрица. Вспоминая, что, согласно нормировке легко видеть, что сумма по всем представляет собой след, т. е. шпур матрицы Заметим, что порядок матриц при этом не существен.

Таким образом, из полученных выше формул имеем

где символ означает шпур матрицы в квадратных скобках. Это соотношение является справедливым, когда импульсы соответствуют либо электронам, либо позитронам.

Приведем шпуры некоторых часто встречающихся матриц;

(эти формулы легко можно проверить).

Шпур произведения нечетного числа операторов со «шляпкой» (или операторов 7) равен нулю. Учитывая это, получаем

В качестве примера применим изложенный метод к кулоновскому рассеянию. Как было показано выше, сечение рассеяния для поляризованных электронов имеет вид

Учитывая, что для сечения рассеяния неполяризованных электронов согласно соотношению (23.3), получаем

Шпур этот можно вычислить непосредственно по формуле (23.5), положив в ней . Его можно вычислить также и другим способом.

Так как , то

Используя приведенные выше формулы, можно показать, что шпур этсй матрицы равен

Но так как и отсюда имеем

Наконец, учитывая, что для сечения рассеяния неполяризованных электронов получаем окончательную формулу

где Это выражение совпадает с полученным выше совершенно другим методом,