ПРИНЦИП ПАУЛИ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

В двадцать четвертой лекции была вычислена вероятность того, что под действием потенциала вакуум остается вакуумом. В интервале времени между в поле потенциала происходят рождения и аннигиляции пар (процессы с замкнутой петлей). Амплитуда вероятности рождения и аннигиляции одной пары определяется выражением (в первом неисчезающем приближении):

Амплитуда вероятности рождения и аннигиляции двух пар пропорциональна произведению амплитуд вероятностей рождения и аннигиляции каждой из пар в отдельности. Однако чтобы при интегрировании по каждая пара не учитывалась дважды, такое произведение нужно разделить на . Таким образом амплитуда вероятности рождения и аннигиляции двух пар равна . В случае рождения и аннигиляции трех пар она равна и т. д. В результате для полной амплитуды вероятности того, что вакуум остается вакуумом, получаем сумму

Первый член в этой сумме (1) соответствует вероятности перехода вакуум — вакуум без рождения виртуальных пар. Отрицательные знаки у амплитуд вероятностей с нечетным числом виртуальных пар можно объяснить, исходя из принципа Паули, следующим образом

Предположим, что при диаграмма процесса имеет вид, представленный на фиг. 56. Такой процесс может быть завершен двумя различными способами, как это показано на фиг. 57.

Фиг. 56

Фиг. 57.

Правую диаграмму на фиг. 57 можно получить из левой путем взаимной перестановки двух электронов. Поэтому, согласно принципу Паули, амплитуда вероятности второго процесса должна вычитаться из первой. Правая диаграмма соот ветствует процессу с одной замкнутой петлей, в то время как левая описывает процесс с двумя замкнутыми петлями. Отсюда заключаем, что все амплитуды вероят ностей процессов с нечетным числом замкнутых петель имеют отрицательные знаки.

Вероятность того, что вакуум остается вакуумом равна

Можно показать, что действительная часть положительна. Так как эта вероятность не может быть больше единицы, то, очевидно, ряд (31.7) должен быть знакопеременным.

Таким образом, мы здесь привели два аргумента в пользу того, что выражение (31.7) должно иметь вид . Один из них основывается на свойствах функции на уравнении Дирака и знаке действительной части L.

Второй же исходит из принципа Паули. Следовательно, используемая нами трактовка уравдения Дирака может быть последовательной лишь в том случае, если электрони подчиняются статистике Ферми — Дирака. Таким образом, между релятивистским уравнением Дирака и принципом Паули существует неразрывная связь. Паули дал более глубокое доказательство необходимости такой связи, но и этот аргумент достаточно убедителен.

Вопрос о связи между принципом Паули и уравнением Дирака (связь между спином частицы и статистикой) является столь интересным, что мы попытаемся дать другое доказательство такой связи, не основываясь на процессах с замкнутыми петлями. Именно, мы докажем, что предположения о полной независимости электронов и о том, что волновые функции системы электронов есть простые произведения волновых функций отдельных электронов (даже если пренебречь взаимодействием между ними), являются непоследовательными. Так, если допустить это, то мы имеем

Далее, сумма всех этих вероятностей представляет собой вероятность того, что в вакууме что-либо да произойдет, и поэтому она должна быть равна единице

Вероятность перехода электрона из точки а в точку b без рождения какой-либо пары равна Вероятность такого перехода с рождением одной пары равна

Вероятность такого перехода с рождением двух пар равна и т. д. Таким образом, для полной вероятности перехода электрона из точки а в точку b с рождением произвольного числа пар имеем [см. формулу (31.8)]

Далее, так как электрон обязательно куда-либо переходит, то

Однако для функции распространения электрона, подчиняющегося уравнению Дирака, имеет место неравенство

(34.10)

что противоречит предшествующему равенству. Это противоречие можно устранить, если допустить, что электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака и не являются независимыми. Таким образом, первоначальный электрон и электрон пары не являются независимыми, и поэтому недопустимо, чтобы последний находился в том же состоянии, что и электрон в точке b. В результате имеем

(31.11)

В случае частиц, описывающихся уравнением Клейна—Гордона, имеет место неравенство, обратное (31.10). Следовательно, частицы со спином нуль (а также с целочисленным спином) не подчиняются статистике Ферми — Дирака, но независимыми их тоже считать нельзя. В случае симметричных волновых функций для системы частиц (статистика Бозе — Эйнштейна) неравенство (31.11) также имеет обратный знак.

В случае статистики Бозе — Эйнштейна нахождение частицы в каком-либо заданном состоянии (скажем, b) увеличивает вероятность рождения другой частицы в этом же состоянии. Таким образом, уравнение Клейна — Гордона однозначно связано со статистикой Бозе — Эйнштейна.

Было бы интересно попытаться углубить приведенные выше соображения и показать, что разница между интегралом и 1 в точности компенсируется при учете принципа Паули. Подобное фундаментальное соотношение во многом должно было бы иметь ясное и простое истолкование.