Лекция десятая

АЛГЕБРА «гамма»-МАТРИЦ

В предыдущей лекции при получении уравнения Дирака

мы воспользовались специальным представлением для матриц

где каждый элемент этих четырехрядных матриц в свою очередь является двухрядной матрицей

Лучшим способом определения матриц , однако, является определение их с помощью коммутационных соотношений, так как последние являются тем наиболее важным, что необходимо при использовании матриц . Коммутационные соотношения определяют эти матрицы иеоднозначно, и приведенное выше представление (10.2) является лишь одним из возможных представлений. Коммутационные соотношения для матриц записываются в виде

или в общем виде

Заметим, что из этого определения с учетом правила образования скалярного произведения следует соотношение

Путем перемножения матриц можно получить новые матрицы. Так, например, матрицы (10.3) образованы путем попарного перемножения матриц . Билинейные комбинации

образуют независимую от систему матриц (т. е. их нельзя представить в виде линейной комбинации последних). Аналогично независимыми из тройных произведений матриц являются матрицы

Эти и только эти тройные произведения дают новые матрицы. Если два из сомножителей в тройном произведении одинаковы, то его можно упростить. Так, например, . Единственным независимым произведением четырех матриц является матрица, называемая

Произведение из более чем четырех матриц обязательно содержит два одинаковых сомножителя и поэтому его можно упростить. Таким образом, из матриц можно образовать 16 линейно независимых матриц (включая единичную матрицу); их линейные комбинации могут содержать 16 произвольных констант. Это означает, что любую такую комбинацию всегда можно представить в виде четырехрядной матрицы. (Математически весьма интересно, что все четырехрядные матрицы можно включить в алгебру -матриц, называемую алгеброй Клиффорда или гиперкомплексной алгеброй. Простейшим примером такой алгебры является так называемая алгебра кватернионов, или алгебра двухрядных спиновых матриц Паули.)

Упражнение. Проверьте следующие соотношения:

и покажите, что

Определим часто встречающуюся матрицу

Воспользовавшись этим определением, покажите, что

Для дальнейшего полезно ввести удобное обозначение

Можно показать, что

Первое из этих соотношений, например, проверяется следующим образом. Имеем

Второй множитель можно пронести вперед, используя коммутационные соотношения (10.3).

Так, например, при пронесении первого слагаемого () второго множителя через первый множитель вследствие того, что матрица коммутирует сама с собой и антикоммутирует с матрицами и получим

Поступая аналогичным образом и с остальными слагаемыми, имеем

Упражнения. 1. Покажите, что

2. Воспользовавшись разложением в степенные ряды, проверьте соотношения

3. Покажите, что