ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

В нерелятивистском случае волновое уравнение (уравнение Шредннгера) с учетом возмущающего потенциала имеет вид

где - невозмущенный гамильтониан системы, а V — оператор возмущения. Можно показать, что для свободной частицы ядро (функция распространения), характеризующее амплитуду перехода из пространственно-временной точки 1 в точку 2, определяется выражением

где - нормировочный множитель, зависящий от временного интервала и массы частицы:

Существенно заметить, что при ядро (15.3), по определению, равно нулю. Можно показать, что функция удовлетворяет уравнению

Функция распространения определяющая амплитуду перехода частицы при наличии возмущения V, удовлетворяет уравнению

Можно показать, что функцию можно представить в виде ряда

В случае, когда полный гамильтониан системы не зависит от времени и собственные функции стационарного состояния известны, функция распространения будет иметь вид следующей суммы:

Изложенная идея непосредственно обобщается на релятивистский случай (уравнение Дирака). Как уже указывалось выше, путем соответствующего выбора гамильтониана уравнение Дирака можно записать в гамильтоновой форме:

Функция распространения при этом определяется решением уравнения

Матрица в правой части уравнения (15.8) введена для релятивистской инвариантности функции распространения [обратите внимание на аналогию этого уравнения с нерелятивистским уравнением (15.5)]. Умножая уравнение (15.8) на матрицу , запишем это уравнение в более простой форме:

Уравнение для функции распространения свободной частицы получается из уравнения (15.9), если в нем положить просто

(15.10)

Функция является обобщением нерелятивистской функции распространения обобщением нерелятивистского уравнения (15.4).

Так же, как и функцию которую можно было представить в виде ряда (15.6), функцию можно представить как

(15.11)

Заметим, что функция распространения является четырехрядной матрицей, и поэтому она определяет все компоненты волновой функции f. Весьма существенное значение имеет порядок различных членов в разложении (15.11). Элемент интегрирования в формуле (15.11) представляет собой элемент объема в четырехмерном пространстве!

Потенциал — можно интерпретировать как амплитуду рассеяния частицы в единице объема и в единицу времени в 4-мерной точке 1. Таким образом, разложение (15.11) по своему смыслу полностью аналогично разложению (15.6).

Задача. Покажите, что функция , представленная в виде ряда (15.11), удовлетворяет уравнениям (15.8) и (15.9).

В нерелятивистской теории траектории, характеризующие попятное движение частиц во времени, исключены. В релятивистском же случае это не так. Существование и физическая интерпретация отрицательных собственных значений энергии в уравнении Дирака позволяют включить в теорию такие траектории частиц.

Так, например, условие (фиг. 13) подразумевает существование виртуальной пары. При этом отрезок от U до h соответствует движению позитрона.

Фиг. 13.

В стационарном случае, если известны волновые функции всех возможных состояний системы, можно определить функцию распространения в виде

(15.12)

Укажем еще на одно решение уравнения (15,9):

(15.13)

Выражение (15.12) можно истолковать в соответствии с позитронной трактовкой состояний с отрицательной энергией. Так, при «обычной» последовательности времен вклад в функцию распространения дают лишь состояния с положительной энергией, т. е. электронные состояния.

При «обратной» же последовательности времен вклад дают лишь состояния с отрицательной энергией, т. е. позитронные состояния. С другой стороны, выражение (15.13) не имеет столь удовлетворительной интерпретации. Несмотря на то что функция распространения определенная выражением (15.13), математически также является решением уравнения (15.9) (как будет показано ниже), для ее физической интерпретации приходится ввести понятие электрона в состоянии с отрицательной энергией.

Чтобы показать, что функции (15.12) и (15.13) являются решениями одного и того же неоднородного уравнения, заметим, что их разность для любых времен равна

Каждый член этой суммы является решением однородного уравнения [т. е. уравнения (15.9) с нулевой правой частью]. Возможность существования двух указанных решений уравнения (15.9) является следствием того, что граничные условия нами не полностью фиксировались, В дальнейшем мы всегда будем пользоваться функцией .

Функция распространения определенная выражением (15.12), позволяет трактовать случаи III и IV (рождение и аннигиляцию пары), рассмотренные в самом начале этой лекции. В каждом из этих случаев потенциал — действует в точке пересечения траекторий электрона и позитрона.