Лекция восьмая

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ВАКУУМА

Решения волнового уравнения для вакуума

можно записать в виде плоской волны

где — постоянные векторы, причем удовлетворяет условию

В этом можно легко убедиться, если учесть, что действие оператора на Функцию сводится к умножению на (На оператор не действует, так как система координат прямоугольная.) Таким образом,

Заметим, что операция образует тензор второго ранга, операция тензор третьего ранга, в котором произведено сокращение по индексу v и получен тензор первого ранга, или вектор.

Вектор с компонентами

называется вектором распространения. В трехмерных обозначениях

а условие записывается в виде

Задана. Покажите, что из условия Лоренца

следует соотношение

При использовании трехмерных обозначений обычно вектор поляризации выбирают так, чтобы а скалярный потенциал полагают равным нулю Это условие, однако, является не единственно возможным. Вследствие релятивистской неинвариантности оно может соблюдаться лишь в какой-либо одной системе координат. Отсюда следует кажущийся парадокс — обособленность системы координат, в которой что несовместимо с теорией относительности. Этот «парадокс», однако, легко разрешается с помошью так называемого калибровочного преобразования, которое оставляет неизменными поля при изменении вектора .

Условие в некоторой системе координат достигается путем выбора определенной калибровки. Действительно, согласно формуле (7.3), калибровочное преобразование в трехмерной форме имеет вид

где — скалярная функция. Условие Лоренца (7. 4), 0, при этом сохраняет свой вид, если

или если функция удовлетворяет уравнению

Решение этого уравнения можно выбрать в виде , где а — произвольная постоянная. В результате

Таким образом, с помощью калибровочного преобразования получили новый вектор поляризации

Отсюда в трехмерной форме:

Таким образом, независимо от используемой системы координат величину

можно сделать равной нулю путем соответствующего выбора константы а.

Инвариантность полей по отношению к калибровочному преобразованию следует из соотношения

так как