МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

В будущем нам придется вычислять интегралы, подобные приведенным выше. Разработан весьма эффективный метод вычисления таких интегралов. В этом разделе мы остановимся на описании этого метода.

Все будет основываться на следующих двух интегралах 15:

Символ ) в соотношении (27.11) употребляется для более компактной записи и означает, что в числителе подынтегрального выражения стоит либо 1, либо а символ (1; 0) в правой части соотношения показывает, что этот интеграл равен соответственно либо либо 0. Приступая к доказательству первого из этих соотношений, прежде всего заметим, что в случае, когда в числителе стоит подынтегральное выражение является нечетной функцией k. Интеграл в этом случае будет равен нулю. В случае, когда в числителе стоит 1, этот интеграл вычисляется контурным интегрированием. Запишем интеграл в виде

При полюсы подынтегрального выражения расположены в точках . В результате контурного интегрирования по (контур берется в верхней полуплоскости) получаем

Дважды дифференцируя по L, имеем

Используя это, находим

что и доказывает соотношение (27.11). Заменяя пере менную интегрирования в соотношении (27.11) на получаем

Далее, дифференцируя обе части этого соотношения, либо по , либо по непосредственно находим

Последующие дифференцирования этого соотношения приводят к интегралам, содержащим более высокие степени k в числителе и более высокие степени величины в знаменателе.

Лекция двадцать восьмая

ИНТЕГРАЛ СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ

В предыдущей лекции было показано, что собственная энергия электрона эквивалентна изменению его массы на величину

Это соотношение можно выразить с помощью интегралов

Было также показано, что

Воспользовавшись определенным интегралом

подынтегральное выражение (28.2) можно записать в виде

В результате интеграл (28.2) принимает вид

Интегрирование по k можно выполнить, используя формулу (28.3) и заменяя на на . Получаем

Интеграл по L берется элементарно и приводит к выражению

При в числителе под логарифмом можно пренебречь членом [в действительности в области член уже не мал по сравнению с однако при эта область является настолько узкой, что ошибка, возникающая в результате такого пренебрежения, очень мала]. После интегрирования по х получаем

Для величины изменения массы электрона, согласно формуле (28.1), имеем

Учитывая, что это выражение можно упростить, т. е.

Заметим теперь, что так как порядка , то даже при очень больших X по сравнению с изменение массы электрона не очень велико. Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Изменение массы электрона зависит от и, таким образом, теоретически его нельзя определить. С другой стороны, можно представить себе, что существуют экспериментальная и теоретическая массы, связанные между собой соотношением

(28.7)

Все наши измерения позволяют определить массу , учитывающую самодействие электрона. Массу же без учета самодействия определить невозможно. Более точно можно сформулировать положение следующим образом:

В случае, когда электрон свободный, самодействие — в точности сокращается с членом и в теории фигурирует лишь масса Если же электрон не свободный, то самодействие не полностью компенсируется членом и в теории остается малая поправка к массе Этот эффект приводит к лэмбовскому сдвигу уровней в атоме водорода. Чтобы научиться вычислять такого рода эффекты, мы здесь рассмотрим эффект самодействия в задаче рассеяния электрона на внешнем потенциале.