ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПИНА ДВИЖУЩЕГОСЯ ЭЛЕКТРОНА

Какой смысл имеют полученные два линейно независимых решения уравнения Дирака? Для однозначного определения волновой функции необходимо знать ряд физических величин. Известно, например, что в системе координат, в которой частица находится в стационарном состоянии, возможны две ориентации спина. На математическом языке существование двух решений уравнения означает существование некоторого оператора, коммутирующего с оператором Ниже будет установлен вид этого оператора. Заметим, что антикоммутирует с матрицей , т. е. . Заметим также, что из соотношения

следует, что с матрицей антикоммутирует любой оператор для которого

Матрица как произведение двух антикоммутирующих с матрицей операторов коммутирует с ней, т. е.

Найдем теперь собственные значения оператора (множитель i введен длятого, чтобы собственные значения были действительны). Обозначая собственные значения через s, имеем

(13.13)

Чтобы найти возможные значения s, умножим уравнение (13.13) на оператор Получим

или

Отсюда следует, что в случае, когда собственные значения оператора равны ±1. Выбор скалярного произведения объясняется следующими соображениями: в системе координат, в которой частица покоится, Тогда

При этом или Таким образом, в системе координат, в которой частица покоится, W — обычный трехмерный единичный вектор (четвертая компонента 1 равна нулю).

Выберем оператор W так, чтобы в случае, когда частица движется в плоскости он совпадал с При этом

Используя алгебраические соотношения, выведенные в десятой лекции, для частицы в стационарном состоянии, получаем

Такой выбор делает оператор совпадающим с тем самым становится ясной его связь со спином частицы. Спинор удовлетворяющий одновременно двум уравнениям является однозначно определенным. Такой спинор описывает частицу с импульсом и со спином (в системе координат, движущейся вместе с частицей) вдоль направления вектора либо против

Упражнение. Покажите, что первая из волновых функций (13.11) соответствует решению с , а вторая — с

Волновую функцию для свободно движущейся частицы можно получить также путем эквивалентного преобразования волнового уравнения [см. уравнение (10.12)]. Если известен дираковский спинор для покоящейся частицы со спином, направленным по оси z, то спинор для частицы, движущейся со скоростью а в направлении вектора к, получается посредством преобразования

[Множитель введен для нормировки; см. формулу (13,14).] Согласно формулам (10.11), матрица преобразования S определяется выражением

Учитывая соотношения

и

получаем

Полагая и замечая, что имеем

В случае, когда лежит в плоскости эти спиноры совпадают со спинорами (13,11) с учетом нормирующего множителя

Так как для покоящейся частицы то спинор и можно записать в виде

или

Легко видеть, что и является решением уравнения Дирака для свободной частицы

(13.7)

Действительно, так как