ОБСУЖДЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ «ПОПРАВОЧНЫХ» ЧЛЕНОВ

Лекция двадцать шестая

Для многих случаев взаимодействия электронов квантовая электродинамика, оказывается, приводит к таким же результатам, как и более простые теории, за исключением небольших «поправочных» членов. Цель настоящей лекции состоит в обсуждении нескольких таких случаев.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ

Простейшие диаграммы взаимодействия двух электронов представлены на фиг. 39.

Фиг. 39.

Амплитуда вероятности такого взаимодействия в импульсном представлении, как было показано выше, пропорциональна величине

где — импульс, передаваемый от одного электрона к другому. Далее, так как , то

Исходя из этого тождества, в предыдущей лекции мы пришли к выводу, что написанная выше амплитуда вероятности взаимодействия эквивалентна

Воспользовавшись преобразованием Фурье, можно показать, что первое слагаемое в этом выражении соответствует фурье-образу кулоновского, мгновенного потенциала. Второе же слагаемое при этом представляет поправку к кулоновскому взаимодействию частиц. Через обозначены проекции матриц 7 на направления, перпендикулярные вектору

В случае медленных электронов указанную поправку к кулоновскому взаимодействию можно упростить и дать ей наглядную интерпретацию. Заметим, что в этом случае

а

Таким образом, и поэтому в знаменателе поправочного члена с большой степенью точности можно заменить на (В системе центра тяжести точно равно нулю.) В результате поправочный член принимает вид

причем

Напомним теперь, что где на соответствует большим, а — малым компонентам волновой функции, и в нерелятивистском приближении

Далее, учитывая, что

получаем (между состояниями с положительной энергией)

В свободном пространстве так что, например, для -компоненты этой матрицы имеем

При получении этого выражения мы воспользовались коммутационными соотношениями для матриц с. Отсюда легко видеть, что полную амплитуду вероятности поправочного взаимодействия к кулоновскому потенциалу можно записать в виде

Первые слагаемые в каждой из квадратных скобок соответствуют токам, обусловленным движением электронов поперек вектора Q, а вторые — поперечным компонентам дипольного магнитного момента каждого из электронов.

Таким образом, оказывается, что амплитуда поправочного взаимодействия двух электронов целиком обусловлена взаимодействиями токов, токов и дипольных магнитных моментов и просто дипольных магнитных моментов между собой. Такие взаимодействия возникают также на основаши классической теории, и впервые они были описаны Брейтом еще до появления квантовой электродинамики. В связи с этим такие взаимодействия часто называются брейтовскими.

Рассмотрим член, соответствующий диполь-дипольному взаимодействию. Так как то

Учитывая, что вектор если и Q параллельны, суммирование в этом выражении можно распространить по всем трем проекциям. В результате этот поправочный член можно записать в виде скалярного произведения

С помощью преобразования Фурье легко убедиться, что этот член, как и отмечалось выше, соответствует импульсному представлению взаимодействия двух магнитных диполей.

Заметим, что использованное выше приближение a применимо лишь для переходов между состояниями с положительной энергией. В случае, когда одно из состояний соответствует позитрону, имеем

В связи с тем, что величина является слишком большой, поправочный член в этом случае становится еще меньше. Тем не менее, его необходимо проанализировать.