РАДИАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ДЛЯ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Рассмотрим атом водорода, кулоновским потенциалом и с волновой функцией электрона Будем считать, что волновая функция нормирована обычным способом. Учет эффекта собственной энергии электрона сводится к сдвигу энергетического уровня на величину

При написании первого члена этого выражения мы руководствовались диаграммой на фиг. 51.

Фиг. 51.

Второй же член, как уже неоднократно отмечалось в предыдущих лекциях, соответствует свободному электрону. Функция распространения недостаточно хорошо определена и не позволяет нам точно вычислить интеграл (30.6). Для приближенного вычисления можно использовать выражение

Функцию распространения фотона разложим в интеграл Фурье

Используя эти формулы, выражение (30.6) записываем в виде

(30.7)

В этой форме записи используются матрицы и волновая функция у вместо функции

Другой подход к описанию движения электрона в атоме водорода состоит в следующем. Рассмотрим электрон как свободную частицу, время от времени испытывающую рассеяние на кулоновском потенциале ядра. Каждый акт рассеяния «вызывает изменение фазы волновой функции на величину порядка . Интервал времени (между актами рассеяния при этом порядка . Будем считать, что минимальный импульс фотона «самодействия» ко значительно больше 1 ридберг. При этом весьма вероятно, что за время между двумя актами рассеяния на потенциале электрон успеет излучить и затем снова поглотить фотон «самодействия».

Фиг. 52.

Однако очень маловероятно, чтобы за время между излучением и поглощением фотона произошли два или более акта рассеяния (см. фиг. 52) В результате такого самодействия электрона возникает поправка к потенциалу ядра, определяемая формулой (30.5) для малых q (к этой формуле нужно добавите поправку, обусловленную аномальным магнитным моментом). В импульсном представлении такая поправка равна

Запишем это выражение в координатном представлении, пользуясь связью

В результате получим

Так как для кулоновского потенциала то эта поправка оказывается существенной лишь для -состояний электрона, ибо при отличными от нуля являются лишь волновые функции -состояний.

Выбор величины определяется неравенством ридберг. Вполне удовлетворительным является значение ридберг. При этом значении однако, нужно учесть вклад фотонов с импульсом Это достигается разделением полного вклада [формула (30.7)] на три отдельные части. Две из них, как будет показано ниже, оказываются не зависящими от потенциала V и сокращаются с аналогичными членами, возникающими от изменения массы свободного электрона и лишь одна из них дает вклад, который нужно учесть. Вследствие малости при анализе формулы (30.7) во всех случаях можно пользоваться нерелятивистским приближением.

1. Вклад от состояний с отрицательной энергией. Пренебрегая величиной по сравнению с , имеем

Матричный элемент оператора пренебрежимо мал; поэтому достаточно ограничиться учетом лишь матричных элементов оператора а. В результате, суммирования по Состояниям с отрицательной энергией получаем

Распространяя суммирование также и на состояния с положительной энергией, получаем пренебрежимо малую поправку порядка

Следовательно, приближенно эту сумму можно записать в виде

Это выражение не зависит от потенциала V и в точности сокращается с аналогичным членом, возникающим от

2. Вклад от состояний с положительной энергией; продольная часть (). В качестве упражнения читатель может проверить соотношение

Отсюда имеем

Вклад от этих членов, просуммированный по всем состояниям с положительной энергией, равен

Так как (потенциал V коммутирует с экспонентой), получаем

Это выражение также не зависит от потенциала V и сокращается с аналогичным членом в

3. Вклад от состояний с положительной энергией; поперечная часть. Благодаря тому, что длина волны фотона велика по сравнению с размерами атома, можно воспользоваться дщольным приближением.

При этом главный член в формуле (30.7) принимает вид

Используя тождество

вклад от члена можно отделить от остальной части интеграла и, как не зависящий от потенциала V, сократить с аналогичным членом в . Далее, усредняя по направлениям, в нерелятивистском приближении получаем

В результате выражение (30.8) принимает вид

Используя соотношение

и учитывая, что часть этого выражения после суммирования по состояниям с положительной энергией (поперечная часть) можно представить в виде

Эта часть сокращается с членом, пропорциональным в формуле (30.7 а). Оставшаяся же часть приводит к Следующему конечному выражению для поправки к энергии:

Для сравнения найденной поправки с экспериментально наблюдаемым лэмбовским сдвигом суммирование в этой формуле производилось численно.

Лекция тридцать первая