НОРМИРОВКА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ

В нерелятивистской квантовой механике плоские волны нормируются таким образом, чтобы вероятность обнаружения частицы в единице объема равнялась единице, т. Аналогичную нормировку для плоских волн можно было бы ввести и в релятивистском случае

Однако из-за того, что величина преобразуется подобно четвертой компоненте 4-вектора (она является четвертой компонентой 4-вектора плотности тока), такая нормировка релятивистски не инвариантна. Чтобы нормировка была релятивистски инвариантной, величину следует приравнять четвертой компоненте соответствующего 4-вектора. Такой величиной является, например, Е — четвертая компонента 4-вектора импульса так что волновую функцию частицы можно нормировать следующим образом:

Коэффициент пропорциональности 2 выбран для удобства дальнейших выкладок. Вычислим величину для состояния с Имеем

где — постоянная нормировки для волновых функций (13.11). Чтобы величина равнялась мы должны выбрать постоянную нормировки .

Таблица 3. Матричные элементы операторов для переходов в случае движения частицы в плоскости ху

(см. скан)

С учетом этой нормировки для величины получаем

Такой же результат получается и для состояния с Следовательно, условие нормировки можно также записать в виде

(13.14)

Аналогичным образом можно показать справедливость следующих соотношений:

Для дальнейшего весьма удобно иметь матричные элементы операторов у для переходов между различными начальными и конечными состояниями. Они приведены в табл. 3.

Предельные случаи. В случае, когда состояние 1 соответствует покоящемуся позитрону, из табл. 3, полагая находим величину . Если же покоящемуся позитрону соответствуют состояния 1 и 2, то из табл. 3 находим величину при