ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СОСТОЯНИИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Выше было показано, что уравнение Дирака для свободной частицы имеет ненулевые решения лишь при выполнении условия

т. е.

Физический смысл состояний с положительной энергией совершенно ясен, но этого нельзя сказать о состояниях с отрицательной энергией.

В свое время Шредингер предлагал просто исключить такие состояния из теории, как не имеющие физического смысла. Однако по поводу такого исключения было высказано два существенных возражения.

Первое из них — физическое, точнее, теоретическое. Уравнение Дирака допускает возможность переходов системы, находящейся в (начальном состоянии с положительной энергией, в конечные состояния с отрицательной энергией. Исключение из теории таких переходов привело бы к внутреннему противоречию теории. Второе возражение является математическим. Оно заключается в том, что исключение состояний с отрицательной энергией приводит к нарушению полноты набора волновых функций. Разложение произвольной функции по неполному набору функций невозможно. Указанные обстоятельства шривели Шредингера к непреодолимым трудностям.

Задача. Пусть при частица, движущаяся по оси находилась в состоянии с положительной энергией и со спином . В момент времени включается постоянный потенциал который в момент выключается. Найти вероятность того, что в момент времени частица будет находиться в состоянии с отрицательной энергией.

Ответ.

Следует заметить, что при Однако, когда , обращаются в нуль также и компоненты дираковского спинора а, поэтому такой предельный переход в окончательных формулах всегда возможен. Правильные результаты можно получить, не прибегая к такому предельному переходу, а просто в компонентах дираковского спинора и положить и нормирующий множитель опустить.

В области положительных значений уровни энергии свободной частицы образуют непрерывный спектр, простирающийся от области отрицательных значений, если таковые допустить, — непрерывный спектр от до

Между уровни энергии свободной частицы отсутствуют (см. фиг. 9). Дирак высказал идею, что все состояния с отрицательной энергией обычно заняты.

Фиг. 9

Все объяснения довольно туманного резервуара состояний с отрицательной энергией, если он и существует, как правило, содержат элементы чисто психологического характера, и поэтому не очень убедительны. Тем не менее, если встать на эту точку зрения, можно сделать несколько весьма важных выводов.

1. Так как все состояния с отрицательной энергией заняты, переходы электронов из состояний с положительной энергией в такие состояния происходить не могут.

2. Электроны в резервуаре состояний с отрицательной энергией не наблюдаемы. При переходе электрона в состояние с положительной энергией в резервуаре образуется «дырка», которая обнаруживает себя. Такая «дырка» ведет себя как позитрон, т. е. электрон с положительным зарядом.

3. Принцип Паули позволяет говорить о заполненности резервуара состояний с отрицательной энергией. Если бы в каждом состоянии могло находиться произвольное число электронов (а не только один), то такой резервуар состояний заполнить было бы невозможно.

В связи с этим теорию Дирака часто рассматривают как «доказательство» принципа Паули.

Иная интерпретация состояний с отрицательной энергией была предложена автором этих лекций. Основная идея этой интерпретации состоит в том, что состояния с отрицательной энергией рассматриваются как состояния, в которых движение электронов носит попятный характер во времени.

В классическом уравнении движения

изменение направления собственного времени 5 эквивалентно изменению знака заряда частицы, так что попятно движущийся электрон подобен позитрону, движущемуся в обычном направлении.

Фиг. 10.

В элементарной квантовой механике при вычислении полной амплитуды вероятности перехода электрона из точки в точку производится суммирование по всем возможным траекториям электрона между этими точками при условии, что время для всех них течет в обычном направлении.

Такие траектории частицы представлены кривыми на фиг. 10. Изложенная же выше точка зрения автора на состояния с отрицательной энергией допускает также возможность существования траекторий вида, представленного на фиг. 11.

Фиг. 11.

Для наблюдателя, воспринимающего течение времени обычным путем из прошедшего в будущее, последовательность событий на фиг. 11 выглядит следующим образом:

При квантовомеханических применениях изложенной идеи необходимо следовать двум правилам.

1. При вычислении матричных элементов перехода для позитронов волновые функции начального и конечного состояний необходимо поменять местами.

Так, матричный элемент перехода электрона из состояния прошедшего во времени в состояние будущего определяется выражением

Если же электрон совершает попятное движение из будущего в прошедшее, то для матричного элемента перехода имеем

2. Волновая функция свободного электрона в состоянии с положительной энергией Е имеет вид причем Если же энергия Е отрицательна, то волновая функция описывает позитрон с энергией — Е (т. е. ) и 4-импульсом — .