Лекция двадцать вторая

АННИГИЛЯЦИЯ ПОКОЯЩЕГОСЯ ПОЗИТРОНА

Сечение аннигиляции электронно-позитронной пары, полученное в предыдущей лекции, расходится при стремлении скорости позитрона к нулю (; это имеет место и для сечений других процессов, в которых происходит поглощение падающей частицы).

Чтобы вычислить время жизни позитрона в окружении электронов с плотностью (напомним, что в полученной выше формуле для сечения аннигиляции плотность электронов считалась равной одному электрону в единице объема) при воспользуемся соотношением

и учтем тот факт, что при (из законов сохранения энергии и импульса следует, что в случае, когда электрон и позитрон почти покоятся, испускаемые фотоны имеют одинаковые по величине и противоположные по направлению импульсы). Имеем

где — угол между векторами поляризации фотонов Такая зависимость от угла 6 показывает, что фотоны, испускаемые при аннигиляции, поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Чтобы получить полную вероятность перехода в единицу времени для любых направлений распространения и поляризаций испускаемых фотонов, выражение (22.1) следует проинтегрировать по телесному углу и усреднить по всем направлениям поляризации в результате получим

Полная вероятность перехода

где - классический радиус электрона, а — время жизни позитрона (здесь восстановлены).

Задачи. 1. Получите результаты этого раздела, исходя непосредственно из матричных элементов для покоящихся частиц (электрона и позитрона). Покажите, что двухфотонная аннигиляция может происходить лишь в синглетном состоянии пары (с антипар аллельными спинами). В триплетном состоянии возможна лишь трехфотонная аннгиляция и время жизни такого состояния значительно больше (см. задачу 2).

2. Определите время жизни электронно-позитронной пары в триплетном состоянии (с параллельными спинами) по отношению к трехфотонному распаду: а) установите формулу для скорости распада; б) запишите М в возможно простой форме; в) составьте таблицу матричных элементов (подобную табл. 3, но с учетом того, что вычислите матричные элементы для восьми случаев поляризаций фотонов; д) определите скорости распада для каждого из этих случаев; е) просуммируйте скорости распада по всем поляризациям; ж) получите спектр испускаемых фотонов; з) получите полную вероятность распада в единицу времени путем интегрирования по спектру фотонов и по углам; и) наконец, сравните результат с формулой Пауэлла и Ора,

3. Известно, что матричные элементы должны быть инвариантны по отношению к калибровочному преобразованию , где а — произвольная постоянная, — импульс фотона, а — его поляризации. Покажите, что матричные элементы комптоновского рассеяния обращаются в нуль при замене в них на .