РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

Здесь мы воспользуемся изложенной выше теорией для вычисления рассеяния электрона на бесконечно тяжелом ядре с зарядом Предположим, что импульс падающего электрона направлен вдоль оси х, а рассеянного — лежит в плоскости ху (фиг. 17). Имеем

Потенциал, создаваемый стационарным зарядом равен

т. е.

Волновые функции начального и конечного состояний электрона являются плоскими волнами:

(они являются четырехкомпонентными спинорами).

Фиг. 17.

При этом, согласно выражению (16.4), для амплитуды вероятности перехода из состояния в состояние g (с изменением импульса ) в первом приближении имеем

Отделяя временную и пространственную зависимости волновых функций, получаем

Первый интеграл представляет собой фурье-компоненту потенциала вычисленную в нерелятивистской теории рассеяния. Имеем

где

Вероятность перехода в единицу времени определяется формулой

Это результат временной теории возмущений [множитель является следствием того, что волновые функции частиц не нормированы на единицу в единице объема]. Величина представляет собой произведение нормирующих множителей N волновых функций всех электронов в начальном и конечном состояниях. Для одного электрона

Отсюда в используемой нами нормировке имеем

Необходимость введения множителя () обусловлена принятой нормировкой волновых функций

при вычислении вероятности перехода их следует нормировать обычным нерелятивистским способом: или (при этом

Вычисленный таким образом матричный элемент М релятивистски инвариантен, и поэтому в дальнейшем мы основное внимание будем уделять именно ему. Если известен матричный элемент М, вероятность перехода можно вычислить по формуле (16.6).

Плотность состояний и сечение рассеяния.

Для рассматриваемой нами задачи рассеяния электрона

Для вероятности перехода при этом имеем

Здесь учтено, что

или [так как а следовательно, ]

В случае, когда падающая плоская волна нормирована на одну частицу в единице объема, сечение рассеяния связано с вероятностью перехода в единицу времени следующим соотношением:

или

Существенное отличие релятивистской трактовки рассеяния электрона от нерелятивистской обусловлено матричным элементом Согласно табл. 3, для частицы, движущейся в плоскости при имеем

где

[В процессе рассеяния энергия сохраняется, т. е. Это можно усмотреть из временной зависимости матричного элемента (16.5)], а

Из равенства следует, что импульс частицы при рассеянии по величине не меняется.)

Таким образом

При или при указанный матричный элемент оператора , равен нулю. При этот матричный элемент по абсолютной величине такой же, как и при . Отсюда следует, что спин частицы при рассеянии не меняется (в борновском приближении), и, следовательно, сечение рассеяния не зависит от спина

где

Критерий (Применимости барнавского приближения, использованного при выводе этой формулы, имеет вид . В ультрарелятивистском случае, когда имеем Что же касается нерелятивистского случая, то рассеяние частицы в кулоновском поле можно рассчитать точно (т. е. в любом приближении по потенциалу). Точное решение уравнения Дирака в нерелятивистском случае выражается через гипергеометрические функции. Рассеяние в кулоновском поле в нерелятивистском случае впервые было рассчитано Моттом и получило название моттовского рассеяния. При средних энергиях вероятность изменения спина частицы при рассеянии оказывается заметной. Этот эффект можно использовать для получения поляризованных электронов.

Задачи. 1. Вычислите сечение резерфордовского рассеяния в случае уравнения Клейна — Гордона (для частицы с нулевым спином].

Ответ.

2. Покажите, что формула для сечения рассеяния электронов остается в силе и для рассеяния позитронов (при вычислении матричных элементов используйте функции позитронных состояний).